- Per a què serveixen les funcions injectives?
- Condicionament de funcions
- Exemples de funcions injectives amb exercicis resolts
- exemple 1
- exemple 2
- exemple 3
- exemple 4
- exemple 5
- exemple 6
- referències
Una funció injectiva és tota relació d'elements de el domini amb un únic element de l'codominio. També conegudes com a funció 1-1 (1 - 1), són part de la classificació de funcions pel que fa a la forma en què es relacionen els seus elements.
Un element de l'codominio només podrà ser imatge d'un únic element de l'domini, d'aquesta forma els valors de la variable dependent no poden repetir-se.
Font: Autor.
Un clar exemple seria agrupar els homes amb treball en un grup A, i en un grup B a tots els caps. La funció F serà la que associï a cada treballador amb el seu cap. Si cada treballador està associat amb un cap diferent a través de F, llavors F serà una funció injectiva.
Per considerar injectiva a una funció s'ha de complir el següent:
∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1) ≠ F (x 2)
Aquesta és la forma algebraica de dir Per a tot x 1 diferent de x 2 es té un F (x 1) diferent de F (x 2).
Per a què serveixen les funcions injectives?
La injectivitat és una propietat de les funcions contínues, ja que asseguren l'assignació d'imatges per a cada element de l'domini, aspecte essencial en la continuïtat d'una funció.
A l'traçar una línia paral·lela a l'eix X sobre la gràfica d'una funció injectiva, només s'ha de tocar a la gràfica en un sol punt, sense importar a quina alçada o magnitud de I es traci la recta. Aquesta és la manera gràfica de provar la injectivitat d'una funció.
Una altra manera de provar si una funció és injectiva, és buidant la variable independent X en termes de la variable dependent Y. Després s'ha de verificar si el domini d'aquesta nova expressió conté als nombres reals, a el mateix temps que per a cada valor de I existeixi un únic valor de X.
Les funcions o relacions d'ordre obeeixen, entre altres formes, a la notació F: D f → C f
Que es llegeix F que va des de D f fins C f
On la funció F relaciona els conjunts Domini i codominio. També coneguts com a conjunt de partida i conjunt d'arribada.
El domini D f conté els valors permesos per a la variable independent. El codomini C f està format per tots els valors disponibles a la variable dependent. Els elements de C f relacionats a D f es coneixen com Rang de la funció (R f).
Condicionament de funcions
De vegades una funció que no és injectiva, es pot sotmetre a certs condicionaments. Ets noves condicions poden convertir-la en una funció injectiva. Són vàlides tot tipus de modificacions a el domini i codomini de la funció, on el objetico és complir les propietats de injectivitat en la relació corresponent.
Exemples de funcions injectives amb exercicis resolts
exemple 1
Sigui la funció F: R → R definida per la recta F (x) = 2x - 3
R:
Font: Autor.
S'observa que per a tot valor de l'domini ha una imatge en el codominio. Aquesta imatge és única cosa que fa de F sigui una funció injectiva. Això s'aplica per a totes les funcions lineals (Funcions el major grau de la variable és un).
Font: Autor.
exemple 2
Sigui la funció F: R → R definida per F (x) = x 2 + 1
Font: Autor
A l'traçar una línia horitzontal, s'observa que la gràfica és trobada en més d'una ocasió. A causa d'això la funció F no és injectiva mentre estigui definida R → R
Es procedeix a condicionar el domini de la funció:
F: R + U {0} → R
Font: Autor
Ara la variable independent no pren valors negatius, d'aquesta manera s'evita repetir resultats i la funció F: R + U {0} → R definida per F (x) = x 2 + 1 és injectiva.
Una altra solució homòloga seria delimitar el domini per l'esquerra, és a dir restringir a la funció per només prendre valors negatius i zero.
Es procedeix a condicionar el domini de la funció
F: R - O {0} → R
Font: Autor
Ara la variable independent no pren valors negatius, d'aquesta manera s'evita repetir resultats i la funció F: R - O {0} → R definida per F (x) = x 2 + 1 és injectiva.
Les funcions trigonomètriques posseeixen comportaments similars a ones, on és molt comú trobar repeticions de valors en la variable dependent. A través de condicionaments específics, basats en el coneixement previ d'aquestes funcions, podem delimitar el domini per complir les condicions de injectivitat.
exemple 3
Sigui la funció F: → R definida per F (x) = Cos (x)
En l'interval la funció cosinus varia els seus resultats entre zero i un.
Font: Autor.
Tal com s'aprecia en la gràfica. Comença des de zero en x = - π / 2 aconseguint després un màxim en zero. És després de x = 0 que els valors comencen a repetir-se, fins a tornar a zero en x = π / 2. D'aquesta manera se sap que F (x) = Cos (x) no és injectiva per a l'interval.
A l'estudiar la gràfica de la funció F (x) = Cos (x) s'observen intervals on el comportament de la corba s'adapta als criteris de injectivitat. Com per exemple l'interval
On la funció varia resultats d'1 a -1, sense repetir cap valor en la variable dependent.
D'aquesta manera la funció funció F: → R definida per F (x) = Cos (x). és injectiva
Existeixen funcions no lineals on es presenten casos similars. Per a les expressions de tipus racional, on el denominador alberga a l'una variable, hi ha restriccions que impedeixen la injectivitat de la relació.
exemple 4
Sigui la funció F: R → R definida per F (x) = 10 / x
La funció està definida per a tots els nombres reals excepte {0} qui presenta una indeterminació (No es pot dividir entre zero) .
A l'acostar-se a zero per l'esquerra la variable dependent pren valors negatius molt grans, i immediatament després de zero, els valors de la variable dependent prenen xifres positives grans.
Aquesta disrupció fa que l'expressió F: R → R definida per F (x) = 10 / x
No sigui injectiva.
Com es va veure en els exemples anteriors, l'exclusió de valors en el domini serveix per "reparar" aquestes indeterminacions. Es procedeix a excloure el zero de l'domini, quedant els conjunts de partida i arribada definits de la següent manera:
R - {0} → R
On R - {0} simbolitza als reals exceptuant un conjunt l'únic element és zero.
D'aquesta manera l'expressió F: R - {0} → R definida per F (x) = 10 / x és injectiva.
exemple 5
Sigui la funció F: → R definida per F (x) = Sen (x)
En l'interval la funció si varia els seus resultats entre zero i un.
Font: Autor.
Tal com s'aprecia en la gràfica. Comença des de zero en x = 0 aconseguint després un màxim en x = π / 2. És després de x = π / 2 que els valors comencen a repetir-se, fins a tornar a zero en x = π. D'aquesta manera se sap que F (x) = Sen (x) no és injectiva per a l'interval.
A l'estudiar la gràfica de la funció F (x) = Sen (x) s'observen intervals on el comportament de la corba s'adapta als criteris de injectivitat. Com per exemple l'interval
On la funció varia resultats d'1 a -1, sense repetir cap valor en la variable dependent.
D'aquesta manera la funció F: → R definida per F (x) = Sen (x). és injectiva
exemple 6
Verificar si la funció F: → R definida per F (x) = Tan (x)
F: → R definida per F (x) = Cos (x + 1)
F: R → R definida per la recta F (x) = 7x + 2
referències
- Introduction to Logic and Critical Thinking. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
- Problems in Mathematical Analysis. Piotr Biler, Alfred Witkowski. University of Wroclaw. Poland.
- Elements of Abstract Analysis. Mícheál O'Searcoid PhD. Department of mathematics. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4.
- Introduction to Logic and to the Methodology of the Deductive Sciences. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University press.
- Principis d'anàlisi matemàtica. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Espanya.