- En què consisteix una funció homográfica?
- Funció homográfica mixta
- Arrel enèsima parell de la funció homográfica
- Logaritme de la funció homográfica
- Com graficar una funció homográfica?
- arrels
- asímptota vertical
- asímptota horitzontal
- Interval de creixement
- Interval de decreixement
- Intersecció amb I
- exemples
- exercici 1
- exercici 1.2
- exercici 2
- referències
La funci ó homográfica o racional és un tipus de funció matemàtica composta per la divisió de dos components polinòmiques. Obeeix a la forma P (x) / Q (x), on Q (x) no pot prendre forma nul·la.
Per exemple l'expressió (2x - 1) / (x + 3) correspon a una funció homográfica amb P (x) = 2x - 1 i Q (x) = x + 3.
Font: pixabay.com
Les funcions homogràfiques constitueixen una secció d'estudi de les funcions analítiques, sent tractades des de l'enfocament de graficación i des de l'estudi de l'domini i rang. Això és a causa de les restriccions i fonaments que s'han d'aplicar per les seves resolucions.
En què consisteix una funció homográfica?
Són expressions racionals de variable única, encara que això no vol dir que no hi hagi una expressió similar per dues o més variables, on ja s'estaria en presència de cossos en l'espai que obeeixen als mateix patrons que la funció homográfica en el pla.
Posseeixen arrels reals en alguns casos, però sempre es manté l'existència d'asímptotes verticals i horitzontals, així com de també intervals de creixement i decreixement. Comunament sols una d'aquestes tendències es fa present, però hi ha expressions capaços de mostrar les dues en el seu desenvolupament.
El seu domini està restringit per les arrels de l'denominador, pel fet que no existeix la divisió entre zero dels nombres reals.
Funció homográfica mixta
Són molt freqüents en el càlcul, sobretot diferencial i integral, i és necessari derivar i antiderivar sota fórmules particulars. Es classifiquen a continuació algunes de les més comunes.
Arrel enèsima parell de la funció homográfica
Exclou tots els elements de l'domini que fan negatiu a l'argument. Les arrels presents a cada polinomi llancen valors de zero a l'ésser avaluades.
Aquests valors són acceptats pel radical, tot i que s'ha de considerar la restricció fonamental de la funció homográfica. On Q (x) no pot rebre valors nuls.
S'han interceptar les solucions dels intervals:
Per aconseguir la solució de les interseccions es pot recórrer a l'mètode de signes, entre d'altres.
Logaritme de la funció homográfica
També és comú trobar les dues expressions en una sola, entre d'altres combinacions possibles.
Com graficar una funció homográfica?
Les funcions homogràfiques es corresponen gràficament amb hipèrboles en el pla. Les quals es transporten horitzontal i verticalment segons els valors que defineixen els polinomis.
Hi ha diversos elements que hem de definir per graficar una funció racional o homográfica.
arrels
El primer seran les arrels o zeros de les funcions P i Q.
Els valors aconseguits es denotaran en l'eix x de la gràfica. Indicant les interseccions de la gràfica amb l'eix.
asímptota vertical
Corresponen a rectes verticals, que demarquen la gràfica segons les tendències que aquestes presentin. Toquen a l'eix x en els valors que fan zero a l'denominador i mai seran tocades per la gràfica de la funció homográfica.
asímptota horitzontal
Representada per una línia puntada horitzontal, demarca un límit per al qual la funció no estarà definida en el punt exacte. Les tendències s'observaran abans i després d'aquesta línia.
Per calcular-la hem de recórrer a un mètode similar a l'mètode de l'Hopital, usat per resoldre límits de funcions racionals que tendeixen a l'infinit. S'han de prendre els coeficients de les potències més altes en el numerador i el denominador de la funció.
Per exemple, la següent expressió té una asímptota horitzontal en y = 2/1 = 2.
Interval de creixement
Els valors de les ordenades tindran tendències marcades a la gràfica causa de les asímptotes. En el cas de l'creixement, la funció augmentarà de valors segons s'avaluïn els elements de l'domini d'esquerra a dreta.
Interval de decreixement
Els valors de les ordenades disminuiran segons s'avaluïn els elements de l'domini d'esquerra a dreta.
Els salts trobats en els valors no es tenen en compte com augments o disminucions. Això passa quan la gràfica està pròxima a una asímptota vertical o horitzontals, on els valors poden variar d'l'infinit a l'infinit negatiu i viceversa.
Intersecció amb I
Fent zero el valor de x, es troba la intersecció amb l'eix de les ordenades. Aquesta és una dada molt útil per a l'obtenció de la gràfica de la funció racional.
exemples
Definiu la gràfica de les següents expressions, trobi les seves arrels, asímptotes vertical i horitzontal, intervals de creixement i decreixement i intersecció amb l'eix de les ordenades.
exercici 1
L'expressió no té arrels, a causa que posseeix un valor constant en el numerador. La restricció a aplicar serà x diferent de zero. Amb asímptota horitzontal en y = 0, i asímptota vertical en x = 0. No hi ha punts d'intersecció amb l'eix i.
S'observa que no hi ha intervals de creixement fins i tot amb el salt de menys a més infinit que hi ha en x = 0.
L'interval de decreixement és
ID: (-∞, o) O (0, ∞)
exercici 1.2
S'observen 2 polinomis com en la definició inicial, per això es procedeix segons els passos establerts.
L'arrel trobada és x = 7/2 que resulta d'igualar a zero la funció.
La asímptota vertical està en x = - 4, que és el valor exclòs de l'domini per la condició de funció racional.
La asímptota horitzontal està en i = 2, això després de dividir 2/1, els coeficients de les variables d'grau 1.
Posseeix una intersecció amb les ordenades en i = - 7/4. Valor trobat després d'igualar la xa zero.
La funció creix constantment, amb un salt de més a menys infinit al voltant de l'arrel x = -4.
El seu interval de creixements és (-∞, - 4) O (- 4, ∞).
Quan el valor de x s'acosta a menys infinit, la funció pren valors propers a 2. El mateix succeeix quan la x s'aproxima a més infinit.
L'expressió s'aproxima a més infinit quan s'avalua en - 4 per l'esquerra, ia menys infinit quan s'avalua en - 4 per la dreta.
exercici 2
S'observa la gràfica de la següent funció homográfica:
Descriure el seu comportament, arrels, asímptotes vertical i horitzontal, intervals de creixement i decreixement i intersecció amb l'eix de les ordenades.
El denominador de l'expressió ens indica a l'factoritzar la diferència de quadrats (x + 1) (x - 1) els valors de les arrels. D'aquesta manera es poden definir dues asímptotes verticals com:
x = -1 i x = 1
La asímptota horitzontal correspon a l'eix de les abscisses causa de que la potència més gran es troba en el denominador.
La seva única arrel està definida per x = -1/3.
L'expressió sempre decreix d'esquerra a dreta. S'aproxima a zero quan es tendeix als infinits. A menys infinit a l'aproximar-se a -1 per l'esquerra. A més infinit a l'aproximar-se a -1 per la dreta. Menys infinit a l'aproximar-se a 1 per l'esquerra i més infinit a l'aproximar-se a 1 per la dreta.
referències
- Approximation with Rational Functions. Donald J. Newman. Americana de Matemàtiques Soc., 31 des. 1979
- Orthogonal Rational Functions. UNIVERSITAT DE LA LLACUNA TENERIFE Adhemar BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press 13 febr. 1999
- Rational Approximation of Reial Functions. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 mar. 2011
- Algebraic Functions. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, 1 ena. 2004
- Revista de la Societat matemàtica espanyola, Volums 5-6. Societat matemàtica espanyola, Madrid 1916