FUNCIÓ CONSTANT: CARACTERÍSTIQUES, EXEMPLES, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

La funció constant és aquella en la qual es manté constant el valor de y. Dit d'una altra manera: una funció constant sempre té la forma f (x) = k, on k és un nombre real.

A l'graficar la funció constant en el sistema de coordenades xi, sempre resulta una línia recta paral·lela a l'eix horitzontal o eix de les x.

Figura 1. Gràfica de diverses funcions constants sobre el pla cartesià. Font: Wikimedia Commons. User: Hite

Aquesta funció és un cas particular de la funció afí, la gràfica és també una línia recta, però amb pendent. La funció constant té pendent nul, és a dir, és una recta horitzontal, tal com s'aprecia a la figura 1.

Allà es mostra la gràfica de tres funcions constants:

Totes són rectes paral·leles a l'eix horitzontal, la primera d'elles es troba per sota d'aquest eix, mentre que les restants estan per sobre.

Característiques de la funció constant

Podem resumir les principals característiques de la funció constant de la següent manera:

-La seva gràfica és una línia recta horitzontal.

-Posseeix intersecció única amb l'eix i, que val k.

-És contínua.

-El domini de la funció constant (el conjunt de valors que pot tenir la x) és el conjunt dels nombres reals R.

-El recorregut, rang o contradominio (el conjunt de valors que pren la variable i) és simplement la constant k.

exemples

Les funcions són necessàries per establir vincles entre magnituds que depenen entre si d'alguna manera. La relació existent entre elles pot modelar matemàticament, per saber com es comporten una d'elles quan varia l'altra.

Això ajuda a construir models per a moltes situacions i fer prediccions sobre el seu comportament i evolució.

Malgrat la seva aparent simplicitat, la funció constant té moltes aplicacions. Per exemple, quan es tracta d'estudiar magnituds que romanen constants en el temps, o almenys, durant un temps apreciable.

D'aquesta manera es comporten magnituds en situacions com les següents:

-La velocitat de creuer d'un cotxe que es mou per una llarga autopista rectilínia. Mentre no freni o acceleri, la interlocutòria porta un moviment rectilini uniforme.

Figura 2. Si l'acte no frena ni s'accelera, té un moviment rectilini uniforme. Font: Pixabay.

-Un condensador totalment carregat i desconnectat d'un circuit, té una càrrega constant en el temps.

-Finalment, un estacionament amb tarifa plana, manté un preu constant sense importar quant temps es passi un cotxe estacionat allà.

Una altra forma de representar una funció constant

La funció constant alternativament es pot representar de la següent manera:

Ja que qualsevol valor de x elevat a la 0 dia 1 com a resultat, l'expressió anterior es redueix a la ja familiar:

Per descomptat això passa sempre que el valor de k sigui diferent de 0.

Per això també es classifica a la funció constant com una funció polinomial de grau 0, ja que l'exponent de la variable x és 0.

exercicis resolts

- Exercici 1

Responeu les següents preguntes:

a) Es pot afirmar que la recta donada per x = 4 és una funció constant? Raoneu la resposta.

b) Una funció constant pot tenir intersecció amb l'eix x?

c) És constant la funció f (x) = w ² ?

Resposta a

Heus aquí la gràfica de la recta x = 4:

Figura 3. Gràfica de la recta x = 4. Font: F. Zapata.

La recta x = 4 no és una funció; per definició una funció és una relació tal que a cada valor de la variable x li correspon un únic valor de y. I en aquest cas això no es compleix, ja que el valor x = 4 està associat a infinits valors de i. Per tant la resposta és no.

Resposta b

En general una funció constant no té intersecció amb l'eix x, llevat que es tracti d'i = 0, i en aquest cas es tracta de l'eix x pròpiament dit.

Resposta c

Sí, ja que w és constant, el seu quadrat també ho és. El que interessa és que w no depengui de la variable d'entrada x.

- Exercici 2

Trobeu la intersecció entre les funcions f (x) = 5 g (x) = 5x - 2

solució

Per trobar la intersecció entre aquestes dues funcions es poden reescriure respectivament com:

S'igualen, obtenint:

Que és una equació lineal de primer grau, la solució és:

El punt d'intersecció és (7/5; 5).

- Exercici 3

Demostri que la derivada d'una funció constant és 0.

solució

De la definició de derivada es té:

Substituint en la definició:

A més, si pensem en la derivada com a taxa de canvi dy / dx, la funció constant no experimenta cap canvi, per tant la seva derivada és nul·la.

- Exercici 4

Trobi la integral indefinida de f (x) = k.

solució

Figura 4. Gràfica de la funció v (t) per al mòbil de l'exercici 6. Font: F. Zapata.

Es demana:

a) Escriure una expressió per a la funció velocitat en funció de el temps v (t).

b) Trobar la distància recorreguda pel mòbil en l'interval de temps comprès entre 0 i 9 segons.

solució a

De el gràfic mostrat s'aprecia que:

- v = 2 m / s en l'interval de temps comprès entre 0 i 3 segons

-El mòbil està aturat entre 3 i 5 segons, ja que en aquest interval la velocitat val 0.

- v = - 3 m / s entre 5 i 9 segons.

És un exemple d'una funció a trossos, o funció per parts, que al seu torn està composta de funcions constants, vàlides únicament per als intervals de temps assenyalats. Es conclou que la funció buscada és:

solució b

A partir de la gràfica v (t) es pot calcular la distància recorreguda pel mòbil, que equival numèricament a l'àrea sota / sobre la corba. D'aquesta manera:

-Distància recorreguda entre 0 i 3 segons = 2 m / s. 3 s = 6 m

-Entre 3 i 5 segons va estar detingut, per tant no va recórrer distància alguna.

-Distància recorreguda entre 5 i 9 segons = 3 m / s. 4 s = 12 m

En total el mòbil va recórrer 18 m. Vegeu que encara que la velocitat és negativa en l'interval entre 5 i 9 segons, la distància recorreguda és positiva. El que passa és que durant aquest interval de temps, el mòbil havia canviat el sentit de la seva velocitat.

referències

1. Geogebra. Funcions constants. Recuperat de: geogebra.org.
2. Maplesoft. The Constant Function. Recuperat de: maplesoft.com.
3. Viquillibres. Càlcul en una variable / Funcions / Funció Constant. Recuperat de: es.wikibooks.org.
4. Wikipedia. Constant function. Recuperat de: en.wikipedia.org
5. Wikipedia. Funció constant. Recuperat de: es.wikipedia.org.