- Com es fa una funció bijectiva?
- Injectivitat d'una funció
- Sobreyectividad d'una funció
- Condicionament de funcions
- Exemples: exercicis resolts
- exercici 1
- exercici 2
- exercici 3
- exercici 4
- exercicis proposats
- referències
Una funció bijectiva és aquella que compleix amb la doble condició de ser injectiva i sobreyectiva. És a dir, que tots els elements de l'domini tenen una única imatge en el codominio, i al seu torn el codomini és igual a la franja de la funció (R f).
Es compleix a l'plantejar-se una relació biunívoca entre els elements de l'domini i codomini. Un exemple simple és la funció F: R → R definida per la recta F (x) = x
Font: Autor
S'observa que per a cada valor de l'domini o conjunt de partida (ambdós termes s'apliquen per igual) es té una única imatge en el codomini o conjunt d'arribada. A més no hi ha cap element de l'codominio que no sigui imatge.
D'aquesta manera F: R → R definida per la recta F (x) = x és bijectiva
Com es fa una funció bijectiva?
Per respondre a això cal tenir clars els conceptes referents a injectivitat i Sobreyectividad d'una funció, a més dels criteris per condicionar funcions en pro de adaptar-les als requeriments.
Injectivitat d'una funció
Una funció és injectiva quan cada un dels elements del seu domini, està relacionat amb un únic element de l'codominio. Un element de l'codominio només podrà ser imatge d'un únic element de l'domini, d'aquesta forma els valors de la variable dependent no poden repetir-se.
Per considerar injectiva a una funció s'ha de complir el següent:
∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1) ≠ F (x 2)
Sobreyectividad d'una funció
Es classifica a una funció com sobreyectiva, si cada element del seu codomini és imatge de al menys un element de l'domini.
Per considerar sobreyectiva a una funció s'ha de complir el següent:
Sigui F: D f → C f
∀ b ℮ C f I a ℮ D f / F (a) = b
Aquesta és la manera algebraica per establir que per a tot "b" que pertany a C f ha un "a" que pertany a D f tal que, la funció avaluada en "a" és igual a "b".
Condicionament de funcions
De vegades una funció que no és bijectiva, es pot sotmetre a certs condicionaments. Ets noves condicions poden convertir-la en una funció bijectiva. Són vàlids tot tipus de modificacions a el domini i codomini de la funció, on el objetico és complir les propietats de injectivitat i sobreyectividad en la relació corresponent.
Exemples: exercicis resolts
exercici 1
Sigui la funció F: R → R definida per la recta F (x) = 5x + 1
R:
S'observa que per a tot valor de l'domini ha una imatge en el codominio. Aquesta imatge és única cosa que fa d' F sigui una funció injectiva. De la mateixa manera observem que el codomini de la funció és igual al seu rang. Complint-se així la condició de sobreyectividad.
A l'ésser injectiva i sobreyectiva a el mateix temps podem concloure que
F: R → R definida per la recta F (x) = 5x + 1 és una funció bijectiva.
Això s'aplica per a totes les funcions lineals (Funcions el major grau de la variable és un).
exercici 2
Sigui la funció F: R → R definida per F (x) = 3x 2 - 2
A l'traçar una línia horitzontal, s'observa que la gràfica és trobada en més d'una ocasió. A causa d'això la funció F no és injectiva i per tant no serà bijectiva mentre estigui definida en R → R
De la mateixa manera hi ha valors de l'codominio que no són imatges de cap element de l'domini. A causa d'això la funció no és sobreyectiva, la qual cosa mereix condicionar també el conjunt d'arribada.
Es procedeix a condicionar el domini i codomini de la funció
F: →
On s'observa que el nou domini abasta els valors des del zero fins a l'infinit positiu. Evitant-se la repetició de valors que afecta la injectivitat.
Així també el codomini ha estat modificat, comptant a partir de "-2" fins a l'infinit positiu, eliminant de l'codomini els valors que no corresponien a cap element de l'domini
D'aquesta manera es pot assegurar que F : → definida per F (x) = 3x 2 - 2
és bijectiva
exercici 3
Sigui la funció F: R → R definida per F (x) = Sen (x)
En l'interval la funció si varia els seus resultats entre zero i un.
Font: Autor.
La funció F no correspon als criteris de injectivitat i sobreyectividad, pel fet que els valors de la variable dependent es repeteixen cada interval de π. A més els termes de l'codomini fora de l'interval no són imatge de cap element de l'domini.
A l'estudiar la gràfica de la funció F (x) = Sen (x) s'observen intervals on el comportament de la corba compleix amb els criteris de biyectividad. Com per exemple l'interval D f = per al domini. I C f = per al codominio.
On la funció varia resultats d'1 a -1, sense repetir cap valor en la variable dependent. I a el mateix temps el codomini és igual als valors adoptats per l'expressió Sen (x)
D'aquesta manera la funció F: → definida per F (x) = Sen (x). és bijectiva
exercici 4
Plantegi les condicions necessàries per a D f i C f. De manera que l'expressió
F (x) = -x 2 sigui bijectiva.
Font: Autor
S'observa la repetició de resultats quan la variable pren valors oposats:
F (2) = F (-2) = -4
F (3) = F (-3) = -9
F (4) = F (-4) = -16
Es condiciona el domini, limitant-lo a la part dreta de la recta real.
D f =
De la mateixa manera s'observa que el rang d'aquesta funció és l'interval, el qual al l'exercir com a codomini compleix les condicions de sobreyectividad.
D'aquesta manera podem concloure que
L'expressió F: → definida per F (x) = -x 2 És bijectiva
exercicis proposats
Verificar si les següents funcions són biyectivas:
F: → R definida per F (x) = 5ctg (x)
F: → R definida per F (x) = Cos (x - 3)
F: R → R definida per la recta F (x) = -5x +4
referències
- Introduction to Logic and Critical Thinking. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
- Problems in Mathematical Analysis. Piotr Biler, Alfred Witkowski. University of Wroclaw. Poland.
- Elements of Abstract Analysis. Mícheál O'Searcoid PhD. Department of mathematics. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4
- Introduction to Logic and to the Methodology of the Deductive Sciences. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University press.
- Principis d'anàlisi matemàtica. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Espanya.