- definició
- casos
- cas 1
- exemple
- cas 2
- exemple
- cas 3
- exemple
- cas 4
- exemple
- aplicacions
- càlcul integral
- exemple 1
- exemple 2
- exemple 3
- Llei d'acció de masses
- exemple
- Equacions diferencials: equació logística
- exemple
- referències
Les fraccions parcials són fraccions formades per polinomis, en què el denominador pot ser un polinomi lineal o quadràtic i, a més, pot estar elevat a alguna potència. De vegades, quan tenim funcions racionals resulta de gran utilitat reescriure aquesta funció com una suma de fraccions parcials o fraccions simples.
Això és així perquè d'aquesta manera podem manipular aquestes funcions de millor manera, sobretot en els casos en què sigui necessari integrar aquesta aplicació. Una funció racional és simplement el quocient entre dos polinomis, i poden ser pròpies o impròpies.
Si el grau de l'polinomi de el numerador és menor que el denominador, es diu funció racional pròpia; en cas contrari, se li coneix com a funció racional impròpia.
definició
Quan tenim una funció racional impròpia, podem dividir el polinomi de el numerador entre el polinomi de el denominador i així reescriure la fracció p (x) / q (x), seguint l'algoritme de la divisió com t (x) + s (x) / q (x), on t (x) és un polinomi i s (x) / q (x) és una funció racional pròpia.
Una fracció parcial és qualsevol funció pròpia de polinomis, el denominador sigui de la forma (ax + b) n o (x 2 + bx + c) n, si el polinomi x 2 + bx + c no posseeix arrels reals i n és un nombre natural.
Per poder reescriure una funció racional en fraccions parcials, el primer que s'ha de fer és factoritzar el denominador q (x) com a producte de factors lineals i / o quadràtics. Un cop fet això es procedeix a determinar les fraccions parcials, les quals depenen de la naturalesa d'aquests factors.
casos
Considerem diversos casos per separat.
cas 1
Els factors de q (x) són tots lineals i cap es repeteix. És a dir:
q (x) = (a 1 x + b 1) (a 2 x + b 2)… (a s x + b s)
Allà cap factor lineal és idèntic a un altre. Quan aquest cas ocorre escriurem:
p (x) / q (x) = A 1 / (a 1 x + b 1) + A 2 / (a 2 x + b 2)… + A s / (a s x + b s).
On A 1, A 2,…, A s són les constants que es volen trobar.
exemple
Desitgem descompondre en fraccions simple la funció racional:
(x - 1) / (x 3 + 3x 2 + 2x)
Procedim a factoritzar el denominador, és a dir:
x 3 + 3x 2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)
després:
(x - 1) / (x 3 + 3x 2 + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)
(X - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)
Aplicant mínim comú múltiple, es pot obtenir que:
x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.
Desitgem obtenir els valors de les constants A, B i C, els quals es poden trobar substituint les arrels que anul·len cadascun dels termes. Substituint 0 per x tenim:
0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.
- 1 = 2A
A = - 1/2.
Substituint - 1 per x tenim:
- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).
- 2 = - B
B = 2.
Substituint - 2 per x tenim:
- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).
-3 = 2C
C = -3/2.
D'aquesta manera s'obtenen els valors A = -1/2, B = 2 i C = -3/2.
Hi ha un altre mètode per obtenir els valors de A, B i C. Si en el costat dret de l'equació x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x combinem termes, tenim:
x - 1 = (A + B + C) x 2 + (3A + 2B + C) x + 2A.
Com que això és una igualtat de polinomis, tenim que els coeficients de la banda esquerra han de ser iguals als de la part dreta. Això ens dóna com a resultat el següent sistema d'equacions:
A + B + C = 0
3A + 2B + C = 1
2A = - 1
A l'resoldre aquest sistema d'equacions, obtenim els resultats A = -1/2, B = 2 i C = -3/2.
Finalment, substituint els valors obtinguts tenim que:
(X - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).
cas 2
Els factors de q (x) són tots lineals i alguns estan repetits. Suposem que (ax + b) és un factor que es repeteix «s» vegades; llavors, a aquest factor li corresponen la suma de «s» fraccions parcials.
A s / (ax + b) s + A s-1 / (ax + b) s-1 +… + A 1 / (ax + b).
On les A s, A s-1,…, A 1 són les constants per determinar. Amb el següent exemple mostrarem com determinar aquestes constants.
exemple
Descompondre en fraccions parcials:
(x - 1) / (x 2 (x - 2) 3)
Escrivim la funció racional com a suma de fraccions parcials com segueix:
(x - 1) / (x 2 (x - 2) 3) = A / x 2 + B / x + C / (x - 2) 3 + D / (x - 2) 2 + I / (x - 2).
després:
x - 1 = A (x - 2) 3 + B (x - 2) 3 x + Cx 2 + D (x - 2) x 2 + E (x - 2) 2 x 2
Substituint 2 per x, ens queda que:
7 = 4C, és a dir, C = 7/4.
Substituint 0 per x tenim:
- 1 = -8A o bé A = 1/8.
Substituint aquests valors en l'equació anterior i desenvolupant, ens queda que:
x - 1 = 1/8 (x 3 - 6x 2 + 12x - 8) + Bx (x 3 - 6x 2 + 12x - 8) + 7 / 4x 2 + Dx 3 - 2DX 2 + Ex 2 (x 2 - 4x + 4)
x - 1 = (B + E) x 4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x 3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x 2 + (3/2 - 8B) x - 1.
Igualant coeficients, obtenim el següent sistema d'equacions:
B + E = 0;
1/8 - 6B + D - 4E = 1;
- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0
3/2 - 8B = 0.
Resolent el sistema, tenim:
B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.
Per això, hem de:
(x - 1) / (x 2 (x - 2) 3) = (1/8) / x 2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) 3 + (5 / 4) / (x - 2) 2 - (3/16) / (x - 2).
cas 3
Els factors de q (x) són lineals quadràtics, sense cap factor quadràtic repetit. Per a aquest cas a el factor quadràtic (ax 2 + bx + c) li correspondrà la fracció parcial (Ax + B) / (x 2 + bx + c), on les constants A i B són les que es volen determinar.
El següent exemple mostra com procedir en aquest cas
exemple
Descompondre en fraccions simples a (x + 1) / (x 3 - 1).
Primer procedim a factoritzar el denominador, el que ens dóna com a resultat:
(X - 1) = (x - 1) (x + x + 1).
Podem observar que (x 2 + x + 1) és un polinomi quadràtic irreductible; és a dir, no posseeix arrels reals. La seva descomposició en fraccions parcials serà de la següent manera:
(x + 1) / (x - 1) (x 2 + x + 1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x 2 + x + 1)
D'això obtenim la següent equació:
x + 1 = (A + B) x 2 + (A - B + C) x + (A - C)
Usant igualtat de polinomis, obtenim el següent sistema:
A + B = 0;
A - B + C = 1;
A - C = 1;
D'aquest sistema tenim que A = 2/3, B = - 2/3 i C = 1/3. Substituint, ens queda que:
(x + 1) / (x - 1) (x 2 + x + 1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x 2 + x + 1).
cas 4
Finalment, el cas 4 és aquell en el qual els factors de q (x) són lineals i quadràtics, on alguns dels factors lineals quadràtics es repeteixen.
En aquest cas, si (x 2 + bx + c) és un factor quadràtic que es repeteix «s» vegades, llavors la fracció parcial corresponent a l'factor (ax 2 + bx + c) serà:
(A 1 x + B) / (x 2 + bx + c) +… + (A s-1 x + B s-1) / (x 2 + bx + c) s-1 + (A s x + B s) / (x 2 + bx + c) s
On els A s, A s-1,…, A i B s, B s-1,…, B són les constants que es vol determinar.
exemple
Volem descompondre en fraccions parcials la següent funció racional:
(x - 2) / (x (x 2 - 4x + 5) 2)
Com x 2 - 4x + 5 és un factor quadràtic irreductible, hem de la seva descomposició en fraccions parcials ve donada per:
(x - 2) / (x (x 2 - 4x + 5) 2) = A / x + (Bx + C) / (x 2 - 4x + 5) + (Dx + I) / (x 2 - 4x + 5) febrer
Simplificant i desenvolupant, ens queda:
x - 2 = A (x 2 - 4x + 5) 2 + (Bx + C) (x 2 - 4x + 5) x + (Dx + I) x
x - 2 = (A + B) x 4 + (- 8A - 4B + C) x 3 + (26A + 5B - 4C + D) x 2 + (- 40A + 5C + I) x + 25A.
De l'anterior tenim el següent sistema d'equacions:
A + B = 0;
- 8A - 4B + C = 0;
26A + 5B - 4C + D = 0;
- 40A + 5C + I = 1;
25A = 2.
A l'resoldre el sistema, ens queda que:
A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 i E = - 3/5.
A l'substituir els valors obtinguts tenim:
(x - 2) / (x (x 2 - 4x + 5) 2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x 2 - 4x + 5) + (2x - 3) / 5 (x 2 - 4x + 5) 2
aplicacions
càlcul integral
Les fraccions parcials s'usen principalment per a l'estudi de càlcul integral. A continuació veurem alguns exemples de com realitzar integrals usant fraccions parcials.
exemple 1
Desitgem calcular la integral de:
Podem observar que el denominador q (x) = (t + 2) 2 (t + 1) està conformat per factors lineals on un d'aquests es repeteix; per això estem en el cas 2.
Hem de:
1 / (t + 2) 2 (t + 1) = A / (t + 2) 2 + B / (t + 2) + C / (t + 1)
Reescrivim l'equació i tenim:
1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) 2
Si t = - 1, tenim que:
1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)
1 = C
Si t = - 2, ens dóna:
1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)
A = - 1
Després, si t = 0:
1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)
Substituint els valors de A i C:
1 = - 1 + 2B + 4
1 = 3 + 2B
2B = - 2
De l'anterior hem de B = - 1.
Reescrivim la integral com:
Procedim a resoldre-la pel mètode de substitució:
Això dóna com a resultat:
exemple 2
Resoldre la següent integral:
En aquest cas podem factoritzar aq (x) = x 2 - 4 com a q (x) = (x - 2) (x + 2). Clarament estem en el cas 1. Per tant:
(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)
També pot expressar-se com:
5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)
Si x = - 2, tenim:
- 12 = A (0) + B (- 4)
B = 3
I si x = 2:
8 = A (4) + B (0)
A = 2
Així, ens queda que resoldre la integral donada és equivalent a resoldre:
Això ens dóna com a resultat:
exemple 3
Resoldre l'integral:
Hem de q (x) = 9x 4 + x 2, que el podem factoritzar en q (x) = x 2 (9x 2 + 1).
En aquesta ocasió tenim un factor lineal repetit i un factor quadràtic; és a dir, estem en el cas 3.
Hem de:
1 / x 2 (9x 2 + 1) = A / x 2 + B / x + (Cx + D) / (9x 2 + 1)
1 = A (9x 2 + 1) + B x (9x 2 + 1) + Cx 2 + Dx 2
Agrupant i fent servir igualtat de polinomis, tenim:
1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A
A = 1;
B = 0;
9A + D = 0;
9B + C = 0
D'aquest sistema d'equacions hem de:
D = - 9 i C = 0
D'aquesta manera, tenim:
A l'resoldre l'anterior, tenim:
Llei d'acció de masses
Una aplicació interessant de les fraccions parcials aplicades a el càlcul integral es troba en la química, més precisament en la llei d'acció de masses.
Suposem que tenim dues substàncies, A i B, les quals s'uneixen i conformen una substància C, de manera que la derivada de la quantitat de C respecte a el temps és proporcional a el producte de les quantitats d'A i B en qualsevol moment donat.
La llei d'acció de masses la podem expressar com segueix:
En aquesta expressió α és la quantitat inicial de grams corresponents a A i β la quantitat inicial de grams que corresponen a B.
A més, ris representen la quantitat de grams de A i B respectivament que es combinen per formar r + s grams de C. Per la seva banda, x representa el nombre de grams de la substància C en l'instant t de temps, i K és la constant de proporcionalitat. L'equació anterior podem reescriure-com:
Fent el següent canvi:
Hem de l'equació es transforma en:
D'aquesta expressió podem obtenir:
On si a ≠ b, es poden fer servir fraccions parcials per a la integració.
exemple
Prenguem d'exemple una substància C que sorgeix de combinar una substància A amb una B, de tal manera que es compleix la llei de masses on els valors de a i b són 8 i 6 respectivament. Donar una equació que ens doni el valor de grams de C en funció de el temps.
Substituint els valors en la llei de massa donada, tenim:
A l'separar variables ens queda:
Aquí 1 / (8 - x) (6 - x) el podem escriure com a suma de fraccions parcials, tal com segueix:
Així, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)
Si substituïm x per 6, hem de B = 1/2; i substituint x per 8, tenim A = - 1/2.
Integrant per fraccions parcials tenim:
Això ens dóna com a resultat:
Equacions diferencials: equació logística
Una altra aplicació que se'ls pot donar a les fraccions parcials és en l'equació diferencial logística. En models senzills tenim que la taxa de creixement d'una població és proporcional a la seva mida; és a dir:
Aquest cas és un ideal i es considera realista fins que passa que els recursos disponibles en un sistema són insuficients per mantenir a la població.
En aquestes situacions el més raonable és pensar que hi ha una capacitat màxima, que anomenarem L, que el sistema pot sostenir, i que la taxa de creixement és proporcional a la mida de la població multiplicada per la grandària disponible. Aquest argument condueix a la següent equació diferencial:
Aquesta expressió s'anomena equació diferencial logística. És una equació diferencial separable que es pot resoldre amb el mètode d'integració per fraccions parcials.
exemple
Un exemple seria considerar a una població que creix segons la següent equació diferencial logística i '= 0.0004y (1000 - i), la dada inicial és 400. Volem saber la mida de la població en l'instant t = 2, on t es mesura en anys.
Si escrivim a i 'amb la notació de Leibniz com una funció que depèn de t, tenim que:
La integral de la banda esquerra es pot resoldre utilitzant el mètode d'integració per fraccions parcials:
Aquesta última igualtat podem reescriure-la manera següent:
- Substituint ai = 0 tenim que A és igual a 1/1000.
- Substituint ai = 1000 hem de B és igual a 1/1000.
Amb aquests valors la integral ens queda de la següent manera:
La solució és:
Usant la dada inicial:
A l'aclarir i ens queda:
Llavors hem d'en t = 2:
En conclusió, després de 2 anys la mida de la població és aproximadament 597,37.
referències
- A, RA (2012). Matemàtiques 1. Universitat dels Andes. Consell de Publicacions.
- Cortez, I., & Sanchez, C. (sf). 801 Integrals resoltes. Universitat Nacional Experimental de l'Tachira.
- Leithold, L. (1992). EL CÀLCUL amb Geometria Analítica. HARLA, SA
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, ES (2007). Càlcul. Mèxic: Pearson Educació.
- Saenz, J. (sf). Càlcul Integral. Hipotenusa.