FACTORITZACIÓ: MÈTODES I EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

La factorització és un mètode a través del qual un polinomi s'expressa en forma de multiplicació de factors, que poden ser nombres, lletres o tots dos. Per factoritzar s'agrupen els factors que són comuns als termes, i d'aquesta forma es va descomponent el polinomi en diversos polinomis.

Així, quan els factors es multipliquen entre si el resultat és el polinomi original. La factorització és un mètode molt útil quan es tenen expressions algebraiques, perquè es pot convertir en la multiplicació de diversos termes senzills; per exemple: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Hi ha casos en els quals un polinomi no pot ser factorizado perquè no hi ha un factor comú entre els seus termes; així, aquestes expressions algebraiques són divisibles només entre elles mateixes i per 1. Per exemple: x + y + z.

En una expressió algebraica el factor comú és el màxim comú divisor dels termes que la componen.

Mètodes de factorització

Hi ha diversos mètodes de factorització, que són aplicats depenent el cas. Alguns d'aquests són els següents:

Factorització per factor comú

En aquest mètode s'identifiquen aquells factors que són comuns; és a dir, aquells que estan repetits en els termes de l'expressió. Després s'aplica la propietat distributiva, es treu el màxim comú divisor i es completa la factorització.

En altres paraules, s'identifica el factor comú de l'expressió i es divideix cada terme entre aquest; els termes resultants seran multiplicats pel màxim comú divisor per expressar la factorització.

exemple 1

Factoritzar (b ² x) + (b ² i).

solució

Primer hi ha el factor comú de cada terme, que en aquest cas és b ², i després es divideixen els termes entre el factor comú de la següent manera:

(b ² x) / b ² = x

(b ² i) / b ² = i.

S'expressa la factorització, multiplicant el factor comú pels termes resultants:

(b ² x) + (b ² i) = b ² (x + i).

exemple 2

Factoritzar (2a ² b ³) + (3ab ²).

solució

En aquest cas tenim dos factors que es repeteixen en cada terme que són "a" i "b", i que es troben elevats a una potència. Per factorizarlos primer es descomponen els dos termes en la seva forma llarga:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Es pot observar que el factor "a" es repeteix una sola vegada en el segon terme, i el factor "b" es repeteix dues vegades en aquest; així que en el primer terme només queda el 2, un factor "a" i un "b"; mentre que en el segon terme només queda el 3.

Per tant, s'escriu les vegades que "a" i "b" es repeteixen i es multiplica pels factors que sobren de cada terme, com s'observa en la imatge:

Factorització per agrupament

Com no en tots els casos el màxim comú divisor d'un polinomi es troba clarament expressat, cal fer altres passos per poder reescriure el polinomi i així factoritzar.

Un d'aquests passos consisteix a agrupar els termes de l'polinomi en diversos grups, per després utilitzar el mètode de l'factor comú.

exemple 1

Factoritzar ac + bc + ad + bd.

solució

Es tenen 4 factors on dos són comuns: en el primer terme és «c» i en el segon és «d». D'aquesta manera s'agrupen i separen els dos termes:

(Ac + bc) + (ad + bd).

Ara és possible aplicar el mètode de l'factor comú, dividint cada terme pel seu factor comú i després multiplicant aquest factor comú pels termes resultants, així:

(Ac + bc) / c = a + b

(Ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Ara s'obté un binomi que és comú per a tots dos termes. Per factoritzar es multiplica pels factors restants; d'aquesta manera s'ha de:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Factorització per inspecció

Aquest mètode es fa servir per factoritzar polinomis quadràtics, també anomenats trinomis; és a dir, aquells que s'estructuren com a x ² ± bx + c, on el valor de "a" és diferent de 1. Aquest mètode també es fa servir quan el trinomi té la forma x ² ± bx + ci el valor del "a" = 1.

exemple 1

Factoritzar x ² + 5x + 6.

solució

Es té un trinomi quadràtic de la forma x ² ± bx + c. Per factoritzar primer s'han de trobar dos nombres que, a l'multiplicar-se, donin com a resultat el valor «c» (és a dir, 6) i que la seva suma sigui igual a el coeficient «b», que és 5. Aquests números són 2 i 3:

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

D'aquesta manera, l'expressió es simplifica així:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Es factoritza cada terme:

- Per (x ² + 2x) es treu el terme comú: x (x + 2)

- Per (3x + 6) = 3 (x + 2)

Així, l'expressió queda:

x (x +2) + 3 (x +2).

Com es té un binomi en comú, per reduir l'expressió es multiplica aquest pels termes sobrants i s'ha de:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

exemple 2

Factoritzar 4a ² + 12a + 9 = 0.

solució

Es té un trinomi quadràtic de la forma ax ² ± bx + ci per factoritzar es multiplica tota l'expressió pel coeficient de x ²; en aquest cas, 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Ara s'han de trobar dos nombres que, quan es multipliquin entre si, donen com a resultat el valor de "c" (que és 36) i que a l'afegir-se donin com a resultat el coeficient de el terme "a", que és 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

D'aquesta manera es reescriu l'expressió, tenint en compte de quals 4 ² a ² = 4a _* 4a. Per tant, s'aplica la propietat distributiva per a cada terme:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Finalment, es divideix l'expressió pel coeficient de a ²; és a dir, 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

L'expressió queda de la següent manera:

4a ² + 12a +9 = (2a + 3) _* (2a + 3).

Factorització amb productes notables

Hi ha casos en què, per factoritzar completament els polinomis amb els mètodes anteriors, es converteix en un procés molt llarg.

És per això que una expressió pot ser desenvolupada amb les fórmules dels productes notables i així el procés es fa més simple. Entre els productes notables més usats estan:

- Diferència de dos quadrats: (a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

- Quadrat perfecte d'una suma: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Quadrat perfecte d'una diferència: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Diferència de dos cubs: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + b + b ²)

- Suma de dos cubs: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - b + b ²)

exemple 1

Factoritzar (5 ² - x ²)

solució

En aquest cas es té una diferència de dos quadrats; per tant, s'aplica la fórmula del producte notable:

(a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ²) = (5 - x) _* (5 + x)

exemple 2

Factoritzar 16x ² + 40x + 25 ²

solució

En aquest cas es té un quadrat perfecte d'una suma, perquè es poden identificar dos termes elevats a el quadrat, i el terme que sobra és el resultat de multiplicar dos per l'arrel quadrada del primer terme, per l'arrel quadrada de l'segon terme.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Per factoritzar només es calculen les arrels quadrades de el primer i tercer terme:

√ (16x ²) = 4x

√ (25 ²) = 5.

Després s'expressen els dos termes resultants separats pel signe de l'operació, i s'eleva tot el polinomi a el quadrat:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ².

exemple 3

Factoritzar 27a ^març - b ³

solució

L'expressió representa una resta en la qual dos factors estan elevats a la galleda. Per factorizarlos s'aplica la fórmula del producte notable de la diferència de cubs, que és:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + b + b ²)

Així, per a factoritzar es treu l'arrel cubica de cada terme de l'binomi i es multiplica pel quadrat del primer terme, més el producte del primer pel segon terme, més el segon terme a l'quadrat.

27a ^març - b ³

³√ (27a ³) = 3a

³√ (-b ³) = -b

27a ^març - b ³ = (3a - b) _*

27a ^març - b ³ = (3ab) _* (9a ² + 3ab + b ²)

Factorització amb la regla de Ruffini

Aquest mètode és usat quan es té un polinomi de grau més gran a dos, per així simplificar l'expressió a diversos polinomis de menor grau.

exemple 1

Factorice Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

solució

Primer es busquen els números que siguin divisors de 12, que és el terme independent; aquests són ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 i ± 12.

Després es substitueix la x per aquests valors, de menor a major, i així es determina amb quin dels valors la divisió serà exacta; és a dir, que la resta ha de ser 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ^febrer + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ^febrer + 4 (2) + 12 = 0.

I així successivament per a cada divisor. En aquest cas, els factors trobats són per x = -1 ix = 2.

Ara s'aplica el mètode de Ruffini, segons el qual els coeficients de l'expressió seran dividits entre els factors trobats perquè la divisió sigui exacta. Els termes de polinomi són ordenats de major a menor exponent; en el cas que falti un terme amb el grau que segueix en la seqüència, es col·loca un 0 al seu lloc.

Els coeficients se situen en un esquema com s'observa en la següent imatge.

Es baixa el primer coeficient i es multiplica pel divisor. En aquest cas, el primer divisor és -1, i el resultat es col·loca en la següent columna. Després es suma en vertical el valor de coeficient amb aquest resultat que es va obtenir i el resultat es col·loca sota. D'aquesta manera es repeteix el procés fins a l'última columna.

Després es repeteix novament el mateix procediment, però amb el segon divisor (que és 2) perquè encara es pot simplificar l'expressió.

Així, per cada arrel aconseguida el polinomi tindrà un terme (x - a), on «a» és el valor de l'arrel:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

D'altra banda, s'han de multiplicar aquests termes per la resta que va quedar de la regla de Ruffini 1: 1 i -6, que són factors que representen un grau. D'aquesta manera l'expressió que es forma és: (x ² + x - 6).

L'obtenció d'el resultat de la factorització de el polinomi pel mètode de Ruffini és:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Per acabar, el polinomi de grau 2 que apareix en l'expressió anterior es pot reescriure com (x + 3) (x-2). Per tant, la factorització final és:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

referències

1. Arthur Goodman, LH (1996). Àlgebra i trigonometria amb geometria analítica. Pearson Educació.
2. J, V. (2014). How to Teach Kids About Factoring a Polynomial.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Matemàtica Bàsica Amb Aplicacions.
4. Roelse, PL (1997). Linear methods for polynomial factorització over finite fields: theory and implementations. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Rings and factorització.