FACTOR COMÚ PER AGRUPACIÓ DE TERMES: EXEMPLES, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

El factor comú per agrupació de termes és un procediment algebraic que permet escriure algunes expressions algebraiques en forma de factors. Per aconseguir aquest objectiu, primer cal agrupar convenientment l'expressió i observar que cada grup així format tingui, en efecte, un factor comú.

Aplicar la tècnica correctament requereix una mica de pràctica, però en poc temps s'aconsegueix dominar. Vegem primer un exemple il·lustratiu descrit pas a pas. Després el lector pot aplicar l'après en cada un dels exercicis que apareixeran després.

Figura 1. Treure factor comú per agrupació de termes facilita el treball amb expressions algebraiques. Font: Pixabay.

Per exemple suposem que es necessita factoritzar la següent expressió:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Aquesta expressió algebraica consta de 4 monomis o termes, separats per signes + i -, a saber:

2x ², 2xy, -3zx, -3zy

Observant amb deteniment, la x és comú als tres primers, però no a l'últim, mentre que la i és comú a el segon i a la cambra, i la z és comú a el tercer i a la cambra.

Així que en principi no hi ha un factor comú als quatre termes a la vegada, però si s'agrupen com es va a mostrar en l'apartat següent, és possible que sí aparegui un que ajudi a escriure l'expressió com el producte de dos o més factors.

exemples

Factoritzar l'expressió: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Pas 1: Agrupar

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Pas 2: Treure el factor comú de cada grup

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + i) - 3z (x + i)

I mportante: el signe negatiu també és un factor comú que ha de ser pres en compte.

Ara cal notar que el parèntesi (x + i) està repetit en els dos termes obtinguts a l'agrupar. Aquest és el factor comú que s'estava buscant.

Pas 3: Factoritzar tota l'expressió

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + i) (2x - 3z)

Amb el resultat anterior s'ha arribat a la meta de la factorització, que no és altra que transformar una expressió algebraica a força de sumes i restes de termes, en el producte de dos o més factors, en el nostre exemple, de: (x + i) i (2x - 3z).

Qüestions importants sobre el factor comú per agrupació

Qüestió 1: Com saber que el resultat és correcte?

Resposta: S'aplica la propietat distributiva a el resultat obtingut i després de reduir i simplificar, l'expressió així aconseguida ha de coincidir amb l'original, si no és així, hi ha un error.

En l'exemple anterior, es treballa al revés amb el resultat, per comprovar que està bé:

(x + i) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Com l'ordre dels sumands no altera la suma, després d'aplicar la propietat distributiva s'han de retorn tots els termes originals, signes inclosos, per tant, la factorització és correcta.

Qüestió 2: ¿Es podia haver agrupat d'una altra manera?

Resposta: Hi ha expressions algebraiques que admeten més d'una forma d'agrupació i altres que no. En l'exemple seleccionat, el lector pot intentar pel seu compte altres possibilitats, per exemple agrupar així:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

I pot comprovar que el resultat és el mateix que es va obtenir aquí. Trobar l'agrupació òptima és qüestió de pràctica.

Qüestió 3: Per què cal treure factor comú d'una expressió algebraica?

Resposta: Perquè hi ha aplicacions en les que l'expressió factoritzada facilita els càlculs. Per exemple, suposem que es vol fer 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy igual a 0. Quines serien les possibilitats?

Per respondre aquesta inquietud, la versió factoritzada és molt més útil que el desenvolupament original en termes. Es planteja així:

(X + i) (2x - 3z) = 0

Una possibilitat que l'expressió valgui 0 és que x = -i, sense importar el valor de z. I l'altra és que x = (3/2) z, sense que importi el valor de y.

exercicis

- Exercici 1

Treure factor comú de la següent expressió per agrupació de termes:

ax + ai + bx + by

solució

S'agrupen els dos primers, amb el factor comú "a" i els dos últims amb el factor comú "b":

ax + ai + bx + by = a (x + i) + b (x + i)

En aquest punt es posa de manifest un nou factor comú, que és (x + i), de manera que:

ax + ai + bx + by = a (x + i) + b (x + i) = (x + i) (a + b)

Una altra manera d'agrupar

Aquesta expressió admet una altra forma d'agrupar. Vegem què passa si es reordenen els termes i es fa un grup amb els que contenen xi un altre amb els que contenen i:

ax + ai + bx + by = ax + bx + ai + by = x (a + b) + i (a + b)

D'aquesta manera el nou factor comú és (a + b):

ax + ai + bx + by = ax + bx + ai + by = x (a + b) + i (a + b) = (x + i) (a + b)

Que condueix a el mateix resultat de la primera forma d'agrupar que es va provar.

- Exercici 2

Es requereix escriure la següent expressió algebraica com el producte de dos factors:

3a ³ - 3a ² b + 9AB ² -a ² + ab-3b ²

solució

Aquesta expressió conté 6 termes. Provem agrupant primer i quart, segon i tercer i finalment cinquè i sisè:

3a ³ - 3a ² b + 9AB ² -a ² + b-3b ² = (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9AB ²) + (ab-3b ²)

Ara es factoritza cada parèntesi:

= (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9AB ²) + (ab -3b ²) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b -a) + b (a-3b)

A primera vista sembla que s'ha complicat la situació, però el lector no ha de desanimar-se, ja que anem a reescriure l'últim terme:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b -a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Els dos últims termes tenen ara un factor comú, que és (3b-a), així que es poden factoritzar. És molt important no perdre de vista el primer terme a ² (3a - 1), que ha de seguir acompanyant tot com sumant, així no s'estigui treballant amb ell:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

L'expressió s'ha reduït a dos termes i es descobreix un nou factor comú en l'últim, que és "b". Ara queda:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

El següent factor comú en aparèixer és 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

O si prefereix sense claus:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² -ab + 3b ²)

Pot el lector trobar una altra manera d'agrupar que condueixi a aquest mateix resultat?

Figura 2. Exercicis proposats de factorització. Font: F. Zapata.

referències

1. Baldor, A. 1974. Àlgebra Elemental. Cultural Veneçolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Àlgebra. Prentice Hall.
3. Principals casos de factorització. Recuperat de: julioprofe.net.
4. UNAM. Matemàtiques Bàsiques: Factorització per agrupació de termes. Facultat de Contaduría i Administració.
5. Zill, D. 1984. Àlgebra i Trigonometria. MacGraw Hill.