ESDEVENIMENTS MÚTUAMENT EXCLOENTS: PROPIETATS I EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

Es diu que dos esdeveniments són mútuament excloents, quan tots dos no poden ocórrer simultàniament en el resultat d'una experimentació. També es coneixen com esdeveniments incompatibles.

Per exemple a el deixar rodar un dau, poden separar-se els possibles resultats com: Números imparells o parells. On cada un d'aquests esdeveniments exclou l'altre (No pot sortir un nombre parell i imparell al seu torn).

Font: pixabay.com

Reprenent l'exemple dels daus, només una cara quedés cap amunt i obtindrem una dada enter entre un i sis. Això és un esdeveniment simple ja que només té una possibilitat de resultat. Tots els esdeveniments simples són mútuament excloents al no admetre altre succés com a possibilitat.

En què consisteixen els esdeveniments mútuament excloents?

Sorgeixen com a resultat d'operacions efectuades en la Teoria de conjunts, on grups d'elements constituïts en conjunts i sub-conjunts, s'agrupen o demarquen segons factors relacionals; Unió (U), intersecció (∩) i complement (') entre d'altres.

Poden ser tractats des de diferents branques (matemàtica, estadística, probabilitat i lògica entre d'altres…) però la seva composició conceptual serà sempre la mateixa.

Què són els esdeveniments?

Són possibilitats i successos resultants d'una experimentació, capaços d'oferir resultats en cadascuna de les seves iteracions. Els esdeveniments generen les dades a registrar com a elements de conjunts i sub conjunts, les tendències en aquestes dades són motiu d'estudi per a la probabilitat.

Són exemples d'esdeveniments:

• La moneda va assenyalar cara.
• El partit va resultar en empat.
• El químic va reaccionar a 1.73 segons.
• La velocitat en el punt màxim va ser de 30 m / s.
• El dau va marcar el número 4.

Dos esdeveniments mútuament excloents també poden considerar-se com esdeveniments complementaris, si aquests abasten l'espai mostral amb la seva unió. Cobrint així totes les possibilitats d'un experiment.

Per exemple l'experiment basat en llançar una moneda, posseeix dues possibilitats cara o creu, on aquests resultats abasten la totalitat de l'espai mostral. Aquests successos són incompatibles entre si i a el mateix temps són col·lectivament exhaustius.

Tot element dual o variable de tipus booleà és part dels esdeveniments mútuament excloents, sent aquesta característica la clau per definir la seva naturalesa. L'absència d'alguna cosa regeix el seu estat, fins que aquest es presenti i deixi d'estar absent. Sota el mateix principi operen les dualitats de bé o malament, encertat i errat. On cada possibilitat es defineix per excloure l'altra.

Propietats dels esdeveniments mútuament excloents:

1. A ∩ B = B ∩ A = ∅
2. Si A = B 'són esdeveniments complementaris i AUB = S (Espai mostral)
3. P (A ∩ B) = 0; La probabilitat d'ocurrència simultània d'aquests esdeveniments és nul·la

Recursos com el diagrama de Venn faciliten notablement la classificació de esdeveniments mútuament excloents entre d'altres , ja que permet visualitzar del tot la magnitud de cada conjunt o subconjunt.

Els conjunts que no tinguin esdeveniments comuns o simplement estiguin separats, seran considerats com incompatibles i mútuament excloents.

Exemple d'esdeveniments mútuament excloents

A diferència de llançar una moneda al següent exemple es tracten els esdeveniments des d'un enfocament no experimental, per tal de poder identificar els patrons de la lògica proposicional en els esdeveniments quotidians.

• El primer, conformat per homes d'edats entre els 5 i 10 anys, té 8 participants.
• El segon, femelles entre els 5 i 10 anys, amb 8 participants.
• El tercer, homes d'edats entre 10 i 15 anys, amb 12 participants.
• El quart, femelles d'edats entre 10 i 15 anys, amb 12 participants.
• El cinquè, homes entre els 15 i 20 anys, té 10 participants.
• El sisè grup, conformat per femelles entre 15 i 20 anys, amb 10 participants.

Font: pexels.com

1. Escacs, un sol esdeveniment per a tots els participants, tots dos sexes i totes les edats.
2. Gimcana infantil, els dos sexes fins als 10 anys. Un premi per cada gènere
3. Futbol femení, per a edats entre 10 i 20 anys. un premi
4. Futbol masculí, per a edats entre 10 i 20 anys. un premi

• Espai mostral: 60 participants
• Nombre d'iteracions: 1
• No exclou cap mòdul de campament.
• Les possibilitats de l'participant són guanyar el premi o no guanyar-lo. Això converteix a cada possibilitat en l'altre excloent per a tots els participants.
• Sense atendre les qualitats individuals dels participants, la probabilitat d'èxit de cada un és P (i) = 1/60.
• La probabilitat que el guanyador sigui home o femella és igual; P (v) = P (h) = 30/60 = 0,5 Sent aquests esdeveniments mútuament excloents i complementaris.

• Espai mostral: 18 participants
• Nombre d'iteracions: 2
• El tercer, quart, cinquè i sisè mòdul queden exclosos d'aquest esdeveniment.
• El primer i segon grup són complementaris dins de la premiación. A causa de que la unió de tots dos grups és igual a l'espai mostral.
• Sense atendre les qualitats individuals dels participants, la probabilitat d'èxit de cada un és P (i) = 1/8
• La probabilitat d'haver guanyador home o femella és 1 pel fet que es realitzarà un esdeveniment per a cada gènere.

• Espai mostral: 22 participants
• Nombre d'iteracions: 1
• El primer, segon, tercer i cinquè mòdul queden exclosos d'aquest esdeveniment.
• Sense atendre les qualitats individuals dels participants, la probabilitat d'èxit de cadascuna és P (i) = 1/2
• La probabilitat d'haver guanyador home és zero.
• La probabilitat d'haver guanyador femella és un.

• Espai mostral: 22 participants
• Nombre d'iteracions: 1
• El primer, segon, quart i sisè mòdul queden exclosos d'aquest esdeveniment.
• Sense atendre les qualitats individuals dels participants, la probabilitat d'èxit de cada un és P (i) = 1/2
• La probabilitat d'haver guanyador femella és zero.
• La probabilitat d'haver guanyador home és un.

referències

1. El rol dels Statistical METHODS IN COMPUTER SCIENCE AND Bioinformatics. Irina Arhipova. Letònia University of Agriculture, Latvia.
2. Statistics and the Evaluation of Evidence for Forensic Scientists. Second Edition. Colin GG Aitken. School of Mathematics. The University of Edinburgh, UK
3. BASIC Probability THEORY, Robert B. Ash. Department of Mathematics. University of Illinois
4. Elementary STATISTICS. Tenth Edition. Mario F. Triola. Boston Sant.
5. Mathematics and Engineering in Computer Science. Christopher J. Van Wyk. Institute for Computer Sciences and Technology. National Bureau of Standards. Washington, DC 20234
6. Mathematics for Computer Science. Eric Lehman. Google Inc.

   F Thomson Leighton Department of Mathematics and the Computer Science and AI Laboratory, Massachusetts Institute of Technology; Akamai Technologies