Un espai vectorial és un conjunt no buit V = { o, v, w,……}, els elements són vectors. Amb ells es realitzen algunes operacions importants, entre les quals destaquen les següents:

- Suma entre dos vectors u + v que dóna com a resultat z, el qual pertany a el conjunt V.

- Multiplicació d'un nombre real α per un vector v: α v que dóna un altre vector i que pertany a V.

Visió artística d'un espai vectorial. Font: Pixabay

Per denotar un vector fem servir negreta (v és un vector), i per als escalars o números lletres gregues (α és un nombre).

Axiomes i propietats

Perquè es d'un espai vectorial, s'han de complir els següents vuit axiomes:

1-Conmutabilidad: o + v = v + o

2-Transitividad: (o + v) + w = u + (v + w)

3-Existència d'el vector nul 0 tal que 0 + v = v

4-Existència d'l'oposat: l'oposat de v és (- v), ja que v + (- v) = 0

5-distributividad del producte respecte a la suma vectorial: α (o + v) = α o + α v

6-distributividad del producte respecte a la suma escalar: (α + β) v = α v + β v

7-Associativitat del producte d'escalessis: α (β v) = (α β) v

8-El número 1 és l'element neutre ja que: 1 v = v

Exemples d'espais vectorials

exemple 1

Els vectors en el pla (R²) són un exemple d'espai vectorial. Un vector en el pla és un objecte geomètric que té magnitud i direcció. Es representa mitjançant un segment orientat que pertany a dit pla i amb una mida proporcional a la seva magnitud.

Es pot definir la suma de dos vectors en el pla com l'operació geomètrica de translació del segon vector a continuació de el primer. El resultat de la suma és el segment orientat que parteix de l'origen de el primer i arriba a la punta de l'segon.

A la figura es pot notar que la suma al R² és commutativa.

Figura 2. Els vectors en el pla formen espai vectorial. Font: elaboració pròpia.

També es defineix el producte d'un nombre α per un vector. Si el nombre és positiu, es manté la direcció de el vector original i la mida és α vegades el vector original. Si el número és negatiu, la direcció és l'oposada, i la mida de el vector resultant és el valor absolut del número.

El vector oposat a un vector qualsevol v és - v = (- 1) v.

El vector nul és un punt en el pla R², i el nombre zero per un vector dóna com a resultat el vector nul.

Tot el que s'ha dit es mostra a la figura 2.

exemple 2

El conjunt P de tots els polinomis de grau menor o igual a dos, incloent el grau zero, formen un conjunt que compleix tots els axiomes d'un espai vectorial.

Sigui el polinomi P (x) = a x² + bx + ci Q (x) = d x² + ex + f

La suma de dos polinomis es defineix: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + i) x + (c + f)

La suma de polinomis pertanyent a el conjunt P és commutativa i transitiva.

El polinomi nul pertanyent a el conjunt P és aquell que té tots els seus coeficients igual a zero:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Es defineix la suma d'un escalar α per un polinomi com: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

El polinomi oposat de P (x) és -P (x) = (-1) P (x).

De tot l'anterior es dedueix que el conjunt P de tots els polinomis de grau menor o igual a dos, és un espai vectorial.

exemple 3

El conjunt M de totes les matrius de m files xn columnes els elements siguin nombres reals formen un espai vectorial real, respecte a les operacions de suma de matrius i producte d'un nombre per una matriu.

exemple 4

El conjunt F de funcions contínues de variable real, formen un espai vectorial, ja que es pot definir la suma de dues funcions, la multiplicació d'un escalar per una funció, la funció nul·la i la funció simètrica. A més compleixen els axiomes que caracteritzen un espai vectorial.

Base i dimensió d'un espai vectorial

base

Es defineix com a base d'un espai vectorial a un conjunt de vectors linealment independents tals que a partir d'una combinació lineal d'ells es pot generar qualsevol vector d'aquest espai vectorial.

Combinar linealment dos o més vectors consisteix en multiplicar els vectors per algun escalar i després sumar-los vectorialment.

Per exemple, en l'espai vectorial de vectors en tres dimensions conformat per R³ es fa servir la base canònica definida pels vectors unitaris (de magnitud 1) i, j, k.

On i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Aquests són els vectors cartesians o canònics.

Un vector qualsevol V pertanyent a R³ s'escriu com V = a i + b j + c k, que és una combinació lineal dels vectors base i, j, k. Als escalars o nombres a, b, c se'ls coneix com les components cartesianes de V.

Es diu també que els vectors base d'un espai vectorial formen un conjunt generador de l'espai vectorial.

dimensió

La dimensió d'un espai vectorial és el nombre cardinal d'una base vectorial per a aquest espai; és a dir, el nombre de vectors que conformen aquesta base.

Aquest cardinal és el màxim nombre de vectors linealment independents d'aquest espai vectorial, i alhora el mínim nombre de vectors que formen un conjunt generador d'aquest espai.

Les bases d'un espai vectorial no són úniques, però totes les bases d'un mateix espai vectorial tenen la mateixa dimensió.

subespai vectorial

Un subespai vectorial S d'un espai vectorial V és un subconjunt de V en el qual es defineixen les mateixes operacions que en V i compleix tots els axiomes d'espai vectorial. Per tant, el subespai S també serà un espai vectorial.

Exemple de subespai vectorial són els vectors que pertanyen a el pla XY. Aquest subespai és un subconjunt d'un espai vectorial de dimensionalitat més gran que el conjunt de vectors pertanyents a l'espai tridimensional XYZ.

Un altre exemple de subespai vectorial S1 de l'espai vectorial S format per totes les matrius 2 × 2 amb elements reals és el definit a continuació:

En canvi S2 definit a continuació, tot i que és un subconjunt de S, no forma subespai vectorial:

exercicis resolts

-Exercici 1

Siguin els vectors V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) i V3 = (0, 0, 3) en R³.

a) Demostreu que són linealment independents.

b) Demostrar que formen una base en R³, ja que qualsevol terna (x, i, z) es pot escriure com a combinació lineal de V1, V2, V3.

c) Trobeu les components de la terna V = (-3,5,4) a la base V1, V2, V3.

solució

El criteri per demostrar independència lineal consisteix a establir el següent conjunt d'equacions en α, β i γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

En cas que l'única solució a aquest sistema sigui α = β = γ = 0 llavors els vectors són linealment independents, en cas contrari no ho són.

Per aconseguir els valors de α, β i γ plantegem el següent sistema d'equacions:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ = 3 = 0

La primera condueix a α = 0, la segona α = -2 ∙ β però com α = 0 llavors β = 0. La tercera equació implica que γ = (- 1/3) β, però com β = 0 llavors γ = 0.

Resposta a

Es conclou que es tracta d'un conjunt de vectors linealment independents en R³.

Resposta b

Ara passem a escriure la terna (x, i, z) com a combinació lineal de V1, V2, V3.

(X, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = i

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ = 3 = z

D'on es té:

α = x

α + 2 β = i

β +3 γ = z

La primera ens indica α = x, la segona β = (x) / 2 i la tercera γ = (z- i / 2 + x / 2) / 3. D'aquesta manera hem trobat els generadors de α, β i γ de qualsevol terna de R³

Resposta c

Passem a trobar les components de la terna V = (-3,5,4) a la base V1, V2, V3.

Substituïm els valors corresponents a les expressions trobades anteriorment per als generadors.

En aquest cas tenim: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

És a dir, que:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Finalment:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Concloem que V1, V2, V3 formen una base en l'espai vectorial R³ de dimensió 3.

-Exercici 2

Expressar el polinomi P (t) = t² + 4t -3 com a combinació lineal de P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t i P3 (t) = t + 3.

solució

P (t) = x P1 (t) + i P2 (t) + z P3 (t)

on els nombres x, i, z han de determinar-se.

A l'multiplicar i agrupar termes amb el mateix grau en t s'obté:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

El que ens condueix a el següent sistema d'equacions:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Les solucions d'aquest sistema d'equacions són:

x = -3, y = 2, z = 4.

És a dir, que:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Exercici 3

Demostri que els vectors v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) i v3 = (2, 1, -1, 1) de R⁴ són linealment independents.

solució

Combinem linealment els tres vectors v1, v2, v3 i exigim que la combinació sumi l'element nul de R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

És a dir, a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Això ens condueix a el següent sistema d'equacions:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Restant la primera i la quarta ens queda: -a + c = 0 el que implica a = c.

Però si ens fixem en la tercera equació, tenim que a = -c. L'única forma que es compleixi a = c = (- c) és que c sigui 0 i per tant a també serà 0.

a = c = 0

Si substituïm aquest resultat en la primera equació llavors vam concloure que b = 0.

Finalment a = b = c = 0, de manera que es pot concloure que els vectors v1, v2 i v3 són linealment independents.

referències

1. Lipschutz, S. 1993. Àlgebra lineal. Segona edició. McGraw - Hill. 167-198.