ENNEÀGON: PROPIETATS, COM FER UN ENNEÀGON, EXEMPLES - MATEMÀTIQUES

Un enneàgon és un polígon de nou costats i nou vèrtexs, el qual pot ser regular o no. La denominació enneàgon prové de el grec i es compon de les paraules gregues ennea (nou) i Gonon (angle).

Un nom alternatiu per al polígon de nou costats és nonágono paraula que prové de el llatí Nonus (nou) i Gonon (vèrtex). D'altra banda, si els costats o els angles de l'enneàgon són desiguals entre si, es té llavors un enneàgon irregular. Si per contra, els nou costats i els nou angles de l'enneàgon són iguals, llavors es tracta d'un enneàgon regular.

Figura 1. Eneágono regular i enneàgon irregular. (Elaboració pròpia)

Propietats de l'enneàgon

Per a un polígon de n costats la suma dels seus angles interns és:

(N - 2) * 180 º

Al enneàgon seria n = 9, de manera que la suma dels seus angles interns és:

Sa = (9 - 2) * 180 º = 7 * 180 º = 1260º

En qualsevol polígon, el nombre de diagonals és:

D = n (n - 3) / 2 i en el cas de l'enneàgon, com n = 9, es té llavors que D = 27.

enneàgon regular

Al enneàgon o nonágono regular es tenen nou (9) angles interns de la mateixa mesura, per tant cada angle mesura la novena part de la suma total dels angles interns.

Es té llavors que la mesura dels angles interns d'un enneàgon és 1260º / 9 = 140 º.

Figura 2. Apotema, ràdio, costats, angles i vèrtexs d'un enneàgon regular. (Elaboració pròpia)

Per deduir la fórmula de l'àrea d'un enneàgon regular de costat d és convenient fer algunes construccions auxiliars, com les mostrades a la figura 2.

Es troba el centre O traçant les mediatrius de dos costats adjacents. El centre O equidista dels vèrtexs.

Un radi de longitud r és el segment que va de centre O a un vèrtex de l'enneàgon. A la figura 2 es mostren els radis OD i OE de longitud r.

L'apotema és el segment que va de el centre fins al punt mitjà d'un costat de l'enneàgon. Per exemple OJ és un apotema la longitud és a.

Àrea d'un enneàgon conegut el costat i l'apotema

Considerem el triangle ODE de la figura 2. L'àrea d'aquest triangle és el producte de la seva base D'per l'altura OJ dividida entre 2:

Àrea ODE = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Com ha 9 triangles de la mateixa àrea en el enneàgon, es conclou llavors que l'àrea de la mateixa és:

Àrea de l'enneàgon = (9/2) (d * a)

Àrea d'un enneàgon conegut el costat

Si només es coneix la longitud d dels costats de l'enneàgon, cal llavors trobar la longitud de l'apotema per poder aplicar la fórmula de l'apartat anterior.

Considerem el triangle OJE rectangle en J (veure figura 2). Si s'aplica la raó trigonomètrica tangent s'obté:

tan (∡ OEJ) = OJ / EX.

L'angle ∡OEJ = 140 º / 2 = 70º, per ser EO bisectriu d'l'angle intern de l'enneàgon.

D'altra banda, OJ és l'apotema de longitud a.

Després, com J és punt mitjà d'ED es dedueix que EJ = d / 2.

Substituint els valors anteriors en la relació de la tangent es té:

tan (70º) = a / (d / 2).

Ara aïllem la longitud de l'apotema:

a = (d / 2) tan (70º).

Se substitueix el resultat previ a la fórmula de l'àrea per obtenir:

Àrea de l'enneàgon = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º))

Finalment es troba la fórmula que permet obtenir l'àrea de l'enneàgon regular si només es coneix la longitud d dels seus costats:

Àrea de l'enneàgon = (9/4) d ² tan (70º) = 6,1818 d ²

Perímetre de l'enneàgon regular conegut el seu costat

El perímetre d'un polígon és la suma dels seus costats. En el cas de l'enneàgon, com tots i cada un dels costats mesura una longitud d, el seu perímetre serà la suma de nou vegades d, és a dir:

Perímetre = 9 d

Perímetre de l'enneàgon conegut el seu radi

Considerant el triangle OJE rectangle en J (veure figura 2), s'aplica la raó trigonomètrica cosinus:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

D'on s'obté:

d = 2r cos (70º)

Substituint aquest resultat s'obté la fórmula de l'perímetre com a funció de el radi de enneàgon:

Perímetre = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Com es fa un enneàgon regular

1- Per construir un enneàgon regular, amb regla i compàs, es parteix de la circumferència c que circumscriu a l'enneàgon. (Veure figura 3)

2- Es tracen dues rectes perpendiculars que passin pel centre O de la circumferència. Després es marquen les interseccions A i B d'una de les rectes amb la circumferència.

3- Amb el compàs, fent centre en la intercepció B i obertura igual a el radi BO es traça un arc que intercepti a la circumferència original en un punt C.

Figura 3. Passos per construir un enneàgon regular. (Elaboració pròpia)

4- Es repeteix el pas anterior però fent centre en A i radi AO es traça un arc que intercepta a la circumferència c en el punt E.

5- Amb obertura AC i centre a A es traça un arc de circumferència. Similarment amb obertura BE i centre B es traça un altre arc. Es marca la intersecció d'aquests dos arcs com a punt G.

6- Fent centre en G i amb obertura GA es traça un arc que intercepta a l'eix secundari (horitzontal en aquest cas) en el punt H. Es marca la intersecció de l'eix secundari amb la circumferència original c com I.

7- La longitud de l'segment IH és igual a la longitud d de la banda de l'enneàgon.

8- Amb obertura de compàs IH = d es tracen successivament els arcs de centre A ràdio AJ, centre J ràdio AK, centre K ràdio KL i centre L ràdio LP.

9- Similarment, partint de A i pel costat dret, es tracen arcs de ràdio IH = d que marquen sobre la circumferència original c els punts M, N, C i Q.

10- Finalment es tracen els segments AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ i finalment PB.

Cal destacar que el mètode de construcció no és d'el tot exacte, ja que pot comprovar-se que l'últim costat PB és 0,7% més llarg que els altres costats. Fins a la data no es coneix un mètode de construcció amb regla i compàs que sigui 100% precís.

exemples

A continuació s'abordaran alguns exemples resolts.

exemple 1

Es vol construir un enneàgon regular els costats mesuren 2 cm. Què ràdio ha de tenir la circumferència que el circumscriu, de manera que a l'aplicar la construcció descrita prèviament s'obtingui el resultat desitjat?

En un apartat anterior es va deduir la fórmula que relaciona el radi r de la circumferència circumscrita amb el costat d d'un enneàgon regular:

d = 2r cos (70º)

Aïllant r de l'expressió anterior ens queda:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d

Substituint el valor d = 2 cm a la fórmula prèvia s'obté un radi r de 2,92 cm.

exemple 2

Quant val l'àrea d'un enneàgon regular de 2 cm de costat?

Per respondre aquesta pregunta cal remetre a la fórmula, demostrada prèviament, que permet trobar l'àrea d'un enneàgon conegut la longitud d del seu costat: