EQUACIONS POLINÒMIQUES (AMB EXERCICIS RESOLTS) - MATEMÀTIQUES - 2026

Les equacions polinòmiques són un enunciat que planteja la igualtat de dues expressions o membres, on a l'almenys un dels termes que conformen cada costat de la igualtat són polinomis P (x). Aquestes equacions són nomenades segons el grau de les seves variables.

En general, una equació és un enunciat que estableix la igualtat de dues expressions, on en a l'almenys una d'aquestes es tenen quantitats desconegudes, que són cridades variables o incògnites. Encara que existeixen molts tipus d'equacions, generalment aquestes són classificades en dos tipus: algebraiques i transcendents.

Les equacions polinòmiques només contenen expressions algebraiques, que poden tenir una o més incògnites que intervenen en l'equació. Segons l'exponent (grau) que tinguin poden classificar-se en: primer grau (lineals), segon grau (quadràtiques), tercer grau (cúbiques), quart grau (cuárticas), de grau més gran o igual que 5 i irracionals.

Característiques

Les equacions polinòmiques són expressions que estan formades per una igualtat entre dos polinomis; és a dir, per les sumes finites de multiplicacions entre valors que són desconeguts (variables) i nombres fixos (coeficients), on les variables poden tenir exponents, i el seu valor pot ser un nombre enter positiu, incloent el zero.

Els exponents determinen el grau o tipus d'equació. Aquell terme de l'expressió que tingui l'exponent de més valor representarà el grau absolut de l'polinomi.

Les equacions polinòmiques també són conegudes com algebraiques, els seus coeficients poden ser nombres reals o complexos i les variables són nombres desconeguts representats per una lletra, com per exemple: "x".

Si a l'substituir un valor per la variable "x" a P (x) el resultat és igual a zero (0), llavors es diu que aquest valor satisfà l'equació (és una solució), i generalment és anomenat arrel de l'polinomi.

Quan es desenvolupa una equació polinòmica es volen trobar totes les arrels o solucions.

tipus

Hi ha diversos tipus d'equacions polinòmiques, que són diferenciades segons el nombre de variables, i també segons el seu el grau de la seva exponent.

Així, les equacions polinòmiques -on el seu primer terme és un polinomi que té una sola incògnita, considerant que el seu grau pot ser qualsevol nombre natural (n) i el segon terme és zero-, poden expressar-se de la següent manera:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

on:

- a _n, a _n-1 ja ₀, són coeficients (nombres) reals.

- a _n és diferent de zero.

- L'exponent n és un nombre enter positiu que representa el grau de l'equació.

- x és la variable o incògnita que ha de ser buscada.

El grau absolut o major d'una equació polinòmica és aquell exponent de més valor entre tots aquells que formen el polinomi; d'aquesta forma, les equacions són classificades com:

primer grau

Les equacions polinòmiques de primer grau, també conegudes com equacions lineals, són aquelles en les que el grau (el major exponent) és igual a 1, el polinomi és de la forma P (x) = 0; i és composta per un terme lineal i un d'independent. S'escriu de la següent manera:

ax + b = 0.

on:

- a i b són nombres reals ia ≠ 0.

- x és el terme lineal.

- b és el terme independent.

Per exemple, l'equació 13x - 18 = 4x.

Per resoldre equacions lineals s'han de passar tots els termes que continguin la incògnita xa un costat de la igualtat, i els que no s'han es mouen a l'altra banda, per així aclarir-i obtenir una solució:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

D'aquesta forma, l'equació donada té una sola solució o arrel, que és x = 2.

segon grau

Les equacions polinòmiques de segon grau, també conegudes com a equacions quadràtiques, són aquelles en les que el grau (el major exponent) és igual a 2, el polinomi és de la forma P (x) = 0, i està composta per un terme quadràtic, un lineal i un d'independent. S'expressa de la següent manera:

ax ² + bx + c = 0.

on:

- a, bic són nombres reals ia ≠ 0.

- x ² és el terme quadràtic, i «a» és el coeficient de el terme quadràtic.

- bx és el terme lineal, i «b» és el coeficient de el terme lineal.

- c és el terme independent.

resolvent

Generalment, la solució a aquest tipus d'equacions és donada a l'aïllar x de l'equació, i queda de la manera següent, la qual és cridada resolvent:

Allà, (b ² - 4ac) és anomenat discriminant de l'equació i aquesta expressió determina el nombre de solucions que pot tenir l'equació:

- Si (b ² - 4ac) = 0, l'equació té una única solució que és doble; és a dir, tindrà dues solucions iguals.

- Si (b ² - 4ac)> 0, l'equació tindrà dues solucions reals diferents.

- Si (b ² - 4ac) <0, l'equació no té solució (tindrà dues solucions complexes diferents).

Per exemple, es té l'equació 4x ² + 10x - 6 = 0, per resoldre-primer s'identifiquen els termes a, bic, i després se substitueix a la fórmula:

a = 4

b = 10

c = -6.

Hi ha casos en els quals les equacions polinòmiques de segon grau no tenen els tres termes, i per això són solucionades de diferent manera:

- En el cas que les equacions quadràtiques no tinguin el terme lineal (és a dir, b = 0), l'equació estarà expressada com a x ² + c = 0. Per resoldre-la es buida x ² i s'apliquen les arrels quadrades en cada membre, recordant que s'han de considerar els dos signes possibles que pugui tenir la incògnita:

ax ² + c = 0.

x ² = - c ÷ a

Per exemple, 5 x ² - 20 = 0.

5 x ² = 20

x ² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2.

x ₂ = -2.

- Quan l'equació quadràtica no tingui un terme independent (és a dir, c = 0), l'equació estarà expressada com a x ² + bx = 0. Per resoldre-la s'ha de treure el factor comú de la incògnita x en el primer membre; com l'equació aquesta igualada a zero, es compleix que a l'almenys un dels factors serà igual a 0:

ax ² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

D'aquesta forma, s'ha de:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Per exemple: es té l'equació 5x ² + 30x = 0. Primer es factoritza:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Es generen dos factors que són xi (5x + 30). Es considera que un d'aquests serà igual a zero i se li dóna solució a l'altre:

x ₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

grau major

Les equacions polinòmiques de grau més gran són aquelles que van des del tercer grau en endavant, que poden ser expressades o resoltes amb l'equació polinòmica general per a un grau qualsevol:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Aquesta és utilitzada perquè una equació amb un grau major a dos és el resultat de la factorització d'un polinomi; és a dir, aquesta expressada com la multiplicació de polinomis de grau un o més gran, però sense arrels reals.

La solució d'aquest tipus d'equacions és directa, perquè la multiplicació de dos factors serà igual a zero si algun dels factors és nul (0); per tant, s'ha de resoldre cadascuna de les equacions polinòmiques trobades, igualant cadascun dels seus factors a zero.

Per exemple, es té l'equació de tercer grau (cúbica) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. Per resoldre-s'han de seguir els següents passos:

- S'agrupen els termes:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ²) + (4x + 4) = 0.

- Es descomponen els membres per treure el factor comú de la incògnita:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- D'aquesta manera s'obtenen dos factors, que han de ser igualats a zero:

(x ² + 4) = 0

(X + 1) = 0.

- Es pot observar que el factor (x ² + 4) = 0 no va a tenir una solució real, mentre que el factor (x + 1) = 0 si. Per tant, la solució és:

(X + 1) = 0

x = -1.

exercicis resolts

Resoldre les següents equacions:

primer exercici

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

solució

En aquest cas l'equació està expressada com la multiplicació de polinomis; és a dir, es troba factoritzada. Per resoldre-la s'ha d'igualar cada factor a zero:

- 2x ² + 5 = 0, no té solució.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

D'aquesta forma, l'equació donada té dues solucions: x = 3 ix = -1.

segon exercici

x ⁴ - 36 = 0.

solució

Va ser donat un polinomi, que pot ser reescrit com una diferència de quadrats per arribar a una solució més ràpida. Així, l'equació queda:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

Per trobar la solució de les equacions s'igualen els dos factors a zero:

(x ² + 6) = 0, no té solució.

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ± √6.

Així, l'equació inicial té dues solucions:

x = √6.

x = - √6.

referències

1. Andres, T. (2010). Matemàtiques Olympiad Tresure. Springer. New York.
2. Àngel, AR (2007). Àlgebra Elemental. Pearson Educació,.
3. Baer, ​​R. (2012). Linear Algebra and Projective Geometry. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Àlgebra. L'Havana: Cultura.
5. Castaño, HF (2005). Matemàtiques prèvies a el càlcul. Universitat De Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, MR (2000). Manual de matemàtiques per a preparació olímpica. Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, ML (1984). Àlgebra Superior I.
8. Massara, NC-L. (1995). Matemàtica 3.