DOMINI I CONTRADOMINIO D'UNA FUNCIÓ (AMB EXEMPLES) - MATEMÀTIQUES - 2025

Els conceptes de domini i contradominio d'una funció són ensenyats comunament en els curs de càlcul que s'imparteixen a l'inici de les carreres universitàries.

Abans de definir el domini i el contradominio s'ha de saber què és una funció. Una funció f és una llei (regla) de correspondència feta entre els elements de dos conjunts.

A el conjunt de el qual s'escullen els elements se l'anomena domini de la funció, i a el conjunt a el qual són enviats aquests elements a través f se li crida contradominio.

En matemàtiques una funció amb domini A i contradominio B és denotada per l'expressió f: A → B.

L'expressió anterior diu que els elements del conjunt A són enviats a el conjunt B seguint la llei de correspondència f.

Una funció assigna a cada element del conjunt A un únic element del conjunt B.

Domini i contradominio

Donada una funció real d'una variable real f (x), s'ha del domini de la funció seran tots aquells nombres reals tals que, quan s'avaluen en f, el resultat és un nombre real.

Generalment el contradominio d'una funció és el conjunt dels nombres reals R. A l'contradominio també se l'anomena conjunt d'arribada o codomini de la funció f.

El contradominio d'una funció sempre és R?

No. Mentre no s'estudiï en detall la funció, se sol prendre com contradominio el conjunt dels nombre reals R.

Però un cop estudiada la funció, es pot prendre un conjunt més adequat com contradominio, el qual serà un subconjunt de R.

El conjunt adequat que es va esmentar en el paràgraf anterior coincideix amb la imatge de la funció.

La definició de la imatge o rang d'una funció f fa referència a tots els valors que provenen d'avaluar un element de l'domini en f.

exemples

En els següents exemples s'il·lustra com calcular el domini d'una funció i la seva imatge.

exemple 1

Sigui f una funció real definida per f (x) = 2.

El domini de f són tots els nombres reals tals que, a l'avaluar-los en f, el resultat és un nombre real. El contradominio de moment és igual a R.

Com que la funció donada és constant (sempre igual a 2), s'ha de tant i fa nombre real s'esculli, ja que a l'avaluar-lo en f el resultat sempre serà igual a 2, el qual és un nombre real.

Per tant, el domini de la funció donada són tots els nombres reals; és a dir, A = R.

Ara que ja és sabut que el resultat de la funció sempre és igual a 2, s'ha de la imatge de la funció és només el número 2, per tant el contradominio de la funció pot ser redefinit com B = Img (f) = {2}.

Per tant, f: R → {2}.

exemple 2

Sigui g una funció real definida per g (x) = √x.

Mentre no es conegui la imatge de g, contradominio de g és B = R.

Amb aquesta funció s'ha de tenir tenir en compte que les arrels quadrades només estan definides per nombres no negatius; és a dir, per a nombres més grans o iguals que zero. Per exemple, √-1 no és un nombre real.

Per tant, el domini de la funció g han de ser tots els nombres majors o iguals que zero; és a dir, x ≥ 0.

Per tant, A = [0, + ∞).

Per calcular el rang s'ha de notar que qualsevol resultat de g (x), per ser una arrel quadrada, sempre serà major o igual que zero. És a dir, B = [0, + ∞).

En conclusió, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

exemple 3

Si es té la funció h (x) = 1 / (x-1), s'ha de aquesta funció no està definida per a x = 1, ja que en el denominador s'obtindria zero i la divisió per zero no està definida.

D'altra banda, per a qualsevol altre valor real el resultat serà un nombre real. Per tant, el domini són tots els reals excepte l'un; és a dir, A = R {1}.

De la mateixa manera es pot observar que l'únic valor que no es pot obtenir com a resultat és el 0, ja que perquè una fracció sigui igual a zero el numerador ha de ser zero.

Per tant, la imatge de la funció és el conjunt de tots els reals excepte el zero, llavors es pren com contradominio B = R {0}.

En conclusió, h: R {1} → R {0}.

Observacions

El domini i la imatge no han de ser el mateix conjunt, com es va demostrar en els exemples 1 i 3.

Quan es grafica una funció en el pla cartesià, el domini és representat per l'eix X i el contradominio o el rang és representat per l'eix Y.

referències

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus mathematics: a problem-solving approach (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Àlgebra i trigonometria amb geometria analítica. Pearson Educació.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Geometria Analítica Plana. Mèrida - Veneçuela: Editorial Veneçolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precàlcul. Pearson Educació.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, ES (2007). Càlcul (Novena ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Càlcul Diferencial amb funcions transcendents primerenques per a Ciències i Enginyeria (Segona Edició ed.). Hipotenusa.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (reprint ed.). Lightning Source.
10. Sullivan, M. (1997). Precàlcul. Pearson Educació.