- Característiques
- tipus
- Distribució uniforme sobre n punts
- distribució binomial
- Distribució de Poisson
- distribució hipergeométrica
- exercicis resolts
- primer exercici
- solució
- segon exercici
- solució
- tercer exercici
- solució
- tercer exercici
- solució
- referències
Les distribucions de probabilitat discreta són una funció que assigna a cada element de X (S) = {x1, x2,…, xi,…}, on X és una variable aleatòria discreta donada i S és el seu espai mostral, la probabilitat que dit succés ocorri. Aquesta funció f de X (S) definida com f (xi) = P (X = xi) de vegades és cridada funció massa de probabilitat.
Aquesta massa de probabilitats és representada generalment en forma de taula. Com X és una variable aleatòria discreta, X (S) compta amb un nombre finit de successos o infinit numerable. Entre les distribucions de probabilitat discreta més comuns tenim la distribució uniforme, la distribució binomial i la distribució de Poisson.
Característiques
La funció de distribució de probabilitat ha de complir amb les següents condicions:
A més, si X pren només un nombre finit de valors (per exemple x1, x2,…, xn), llavors p (xi) = 0 si i> ny, per tant, la sèrie infinita de la condició b arriba a ser una sèrie finita.
També aquesta funció compleix amb les següents propietats:
Sigui B un succés associat amb la variable aleatòria X. Això vol dir que B està contingut en X (S). Específicament, suposem que B = {xi1, xi2,…}. Per tant:
Dit en altres paraules: la probabilitat d'un succés B és igual a la suma de les probabilitats dels resultats individuals associats amb B.
D'això podem concloure que si a <b, els successos (X ≤ a) i (a <X ≤ b) són mútuament excloents i, a més, la seva unió és el succés (X ≤ b), de manera que tenim:
tipus
Distribució uniforme sobre n punts
Es diu que una variable aleatòria X segueix una distribució que es caracteritza per ser uniforme en n punts si a cada valor se li assigna la mateixa probabilitat. La seva funció massa de probabilitat és:
Suposem que tenim un experiment que posseeix dos possibles resultats, pot ser el llançament d'una moneda els resultats possibles són cara o segell, o l'elecció d'un nombre enter el resultat pot ser un nombre parell o un de imparell; aquest tipus d'experiment és conegut com a proves de Bernoulli.
En general, els dos possibles resultats són anomenats èxit i fracàs, on p és la probabilitat d'èxit i 1-p la de fracàs. Podem determinar la probabilitat de x èxits en n proves de Bernoulli que siguin independents entre si amb la següent distribució.
distribució binomial
És aquella funció que representa quina és la probabilitat d'obtenir x èxits en n proves de Bernoulli independents, la probabilitat d'èxit és de p. La seva funció massa de probabilitat és:
La següent gràfica representa la funció massa de probabilitat per a diferents valors dels paràmetres de la distribució binomial.
La següent distribució deu el seu nom a l'matemàtic francès Simeon Poisson (1781-1840), el qual la va obtenir com a límit de la distribució binomial.
Distribució de Poisson
Es diu que una variable aleatòria X té distribució de Poisson de paràmetre λ quan pot prendre els valors enters positius 0,1,2,3,… amb la següent probabilitat:
En aquesta expressió λ és el nombre mitjà corresponent a les ocurrències de l'esdeveniment per cada unitat de temps, i x és el nombre de vegades que ocorre el succés.
La seva funció massa de probabilitat és:
A continuació, una gràfica que representa la funció massa de probabilitat per a diferents valors dels paràmetres de la distribució Poisson.
Noti que, mentre la quantitat d'èxits sigui baixa i la quantitat n de proves realitzades en una distribució binomial sigui alta, sempre podrem apropar aquestes distribucions, a l'ésser la distribució de Poisson límit de la distribució binomial.
La diferència principal entre aquestes dues distribucions és que, mentre la binomial depèn de dos paràmetres -a saber, ni p-, la de Poisson només depèn de λ, el qual de vegades és anomenat la intensitat de la distribució.
Fins ara només hem parlat de distribucions de probabilitat per a casos en els quals els diferents experiments són independents entre si; és a dir, quan el resultat d'un no es veu afectat per algun altre resultat.
Quan ocorre el cas d'haver experiments que no són independents, la distribució hipergeométrica és de gran utilitat.
distribució hipergeométrica
Sigui N el nombre total d'objectes d'un conjunt finit, dels quals podem identificar a k d'aquests d'alguna manera, formant així un subconjunt K, el complement està format pels Nk elements restants.
Si escollim a l'atzar n objectes, la variable aleatòria X que representa el nombre d'objectes pertanyents a K en aquesta elecció té una distribució hipergeométrica de paràmetres N, ny k. La seva funció massa de probabilitat és:
La següent gràfica representa la funció massa de probabilitat per a diferents valors dels paràmetres de la distribució hipergeométrica.
exercicis resolts
primer exercici
Suposem que la probabilitat que un tub de ràdio (posat en cert tipus d'equip) funcioni per més de 500 hores és de 0,2. Si es proven 20 tubs, ¿quina és la probabilitat que exactament k d'aquests funcionin més de 500 hores, k = 0, 1,2,…, 20?
solució
Si X és el nombre de tubs que funcionen més de 500 hores, suposarem que X té una distribució binomial. llavors
I així:
Per k≥11, les probabilitats són menors que 0,001
Així podem observar com la probabilitat que k d'aquests funcionin més de 500 hores va pujant, fins que arriba al valor màxim (amb k = 4) i després comença a disminuir.
segon exercici
S'avienta una moneda a 6 vegades. Quan el resultat sigui cara, direm que és un èxit. Quina és la probabilitat que surtin dues cares exactament?
solució
Per a aquest cas hem de n = 6 i tant la probabilitat d'èxit com de fracàs són p = q = 1/2
Per tant, la probabilitat que es donin dues cares (és a dir k = 2) és de
tercer exercici
Quina és la probabilitat de trobar a l'almenys quatre cares?
solució
Per a aquest cas hem de k = 4, 5 o 6
tercer exercici
Suposem que el 2% dels articles produïts en una fàbrica són defectuosos. Trobar la probabilitat P que hi hagi tres articles defectuosos en una mostra de 100 articles.
solució
Per a aquest cas podríem aplicar la distribució binomial per n = 100 ip = 0,02 obtenint com a resultat:
No obstant això, ja que p és petit, fem servir l'aproximació de Poisson amb λ = np = 2. així,
referències
- Kai Lai Chung. Elementary Proability Theory with Stochastic Processes. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Rosen.Matemáticas Discretes i les seves Aplicacions. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA D'ESPANYA.
- Paul L. Meyer. Probabilitat i Aplicacions Estadístiques. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Problemes Resolts de Matemàtica Discretes. McGRAW-HILL.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria i Problemes de Probabilitat. McGRAW-HILL.