DISTRIBUCIÓ NORMAL: FÓRMULA, CARACTERÍSTIQUES, EXEMPLE, EXERCICI - MATEMÀTIQUES - 2025

La distribució normal o distribució gaussiana és la distribució de probabilitat en variable contínua, en la qual la funció densitat de probabilitat està descrita per una funció exponencial d'argument quadràtic i negatiu, que dóna lloc a una forma acampanada.

El nom de distribució normal ve de el fet que aquesta distribució és la que s'aplica a major nombre de situacions on està involucrada alguna variable aleatòria contínua en un grup o població donada.

Figura 1. Distribució normal N (x; μ, σ) i la seva densitat de probabilitat f (s; μ, σ). (Elaboració pròpia)

Com a exemples on s'aplica la distribució normal es tenen: l'altura dels homes o de les dones, variacions en la mesura d'alguna magnitud física o en trets psicològics o sociològics mesurables com el quocient intel·lectual o els hàbits de consum de cert producte.

D'altra banda, se l'anomena distribució gaussiana o campana de Gauss, perquè és a aquest geni matemàtic alemany a qui se li acredita el seu descobriment per l'ús que li va donar per a la descripció de l'error estadístic dels mesuraments astronòmiques allà per l'any 1800.

No obstant això, s'afirma que aquesta distribució estadística va ser publicada prèviament per un altre gran matemàtic d'origen francès, com ho va ser Abraham de Moivre, allà per l'any 1733.

fórmula

A la funció distribució normal en la variable contínua x, amb paràmetres μ i σ se li denota per:

N (x; μ, σ)

i explícitament s'escriu així:

N (x; μ, σ) = ∫ _-∞ ^x f (s; μ, σ) ds

on f (u; μ, σ) és la funció densitat de probabilitat:

f (s; μ, σ) = (1 / (σ√ (2π)) Exp (- s ² / (2σ ²))

La constant que multiplica a la funció exponencial en la funció densitat de probabilitat se l'anomena constant de normalització, i s'ha triat de tal manera que:

N (+ ∞, μ, σ) = 1

L'expressió anterior assegura que la probabilitat que la variable aleatòria x estigui compresa entre -∞ i + ∞ sigui 1, és a dir el 100% de probabilitat.

El paràmetre μ és la mitjana aritmètica de la variable aleatòria contínua xi σ la desviació típica o arrel quadrada de la variància d'aquesta mateixa variable. En el cas que μ = 0 i σ = 1 es té llavors la distribució normal estàndard o distribució normal típica:

N (x; μ = 0, σ = 1)

Característiques de la distribució normal

1- Si una variable estadística aleatòria segueix una distribució normal de densitat de probabilitat f (s; μ, σ), la major part de les dades s'agrupen al voltant de valor mitjà μ i estan dispersos al seu voltant de manera que poc més de ⅔ de les dades estan entre μ - σ i μ + σ.

2- desviació típica σ sempre és positiva.

3- La forma de la funció de densitat f s'assembla a la d'una campana, de manera que a aquesta funció moltes vegades se l'anomena campana de Gauss o funció gaussiana.

4- En una distribució gaussiana la mitjana, la mediana i la moda coincideixen.

5- Els punts d'inflexió de la funció densitat de probabilitat es troben justament en μ - σ i μ + σ.

6- La funció f és simètrica respecte a un eix que passi pel seu valor mitjà μ i té asimptòticament a zero per x ⟶ + ∞ i x ⟶ -∞.

7- A major valor de σ major dispersió, soroll o distanciament de les dades al voltant de la valor mitjà. És a dir a major σ la forma de campana és més oberta. En canvi σ petit indica que els daus es cenyeixen a la mitjana i la forma de la campana és més tancada o punxeguda.

8- La funció de distribució N (x; μ, σ) indica la probabilitat que la variable aleatòria sigui menor o igual que x. Per exemple, a la figura 1 (més amunt) la probabilitat P que la variable x sigui menor o igual a 1.5 és de 84% i es correspon amb l'àrea sota la funció densitat de probabilitat f (x; μ, σ) des -∞ fins x.

Intervals de confiança

9- Si les dades segueixen una distribució normal, llavors 68,26% d'aquests estan entre μ - σ i μ + σ.

10- El 95,44% de les dades que segueixen una distribució normal es troben entre μ - 2σ i μ + 2σ.

11- El 99,74% del les dades que segueixen una distribució normal es troben entre μ - 3σ i μ + 3σ.

12- Si una variable aleatòria x segueix una distribució N (x; μ, σ), llavors la variable

z = (x - μ) / σ segueix la distribució normal estàndard N (z; 0,1).

El canvi de la variable xa la z rep el nom d'estandardització o tipificació i és de gran utilitat a a l'hora d'aplicar les taules de la distribució estàndard a les dades que segueixen una distribució normal no-estàndard.

Aplicacions de la distribució normal

Per aplicar la distribució normal és necessari passar pel càlcul de la integral de la densitat de probabilitat, la qual cosa des del punt de vista analític no és fàcil i no sempre es disposa d'un programa informàtic que permeti el seu càlcul numèric. Amb aquesta finalitat es fan servir les taules de valors normalitzats o tipificats, que no és més que la distribució normal en el cas μ = 0 i σ = 1.

Taula de distribució normal tipificada (part 1/2)

Taula de distribució normal tipificada (part 2/2)

Ha de notar-se que aquestes taules no inclouen els valors negatius. No obstant això, usant les propietats de simetria de la funció densitat de probabilitat gaussiana es poden obtenir els valors corresponents. En l'exercici resolt mostrat més baix s'indica l'ús de la taula en aquests casos.

exemple

Suposeu que té un conjunt de dades aleatòries x que segueixen una distribució normal de mitjana 10 i desviació típica 2. Es demana trobar la probabilitat que:

a) La variable aleatòria x sigui menor o igual a 8.

b) Sigui menor o igual a 10.

c) Que la variable x estigui per sota de 12.

d) La probabilitat que un valor x estigui entre 8 i 12.

solució:

a) Per respondre a la primera pregunta simplement cal calcular:

N (x; μ, σ)

Amb x = 8, μ = 10 i σ = 2. Ens adonem que es tracta d'una integral que no té una solució analítica en funcions elementals, sinó la solució està expressada en funció de la funció error erf (x).

D'altra banda, hi ha la possibilitat de resoldre la integral en forma numèrica, que és el que fan moltes calculadores, els fulls de càlcul i programes informàtics com GeoGebra. La següent figura mostra la solució numèrica corresponent a el primer cas:

Figura 2. Densitat de probabilitat f (x; μ, σ). L'àrea ombrejada representa P (x ≤ 8). (Elaboració pròpia)

i la resposta és que la probabilitat que x estigui per sota de 8 és:

P (x ≤ 8) = N (x = 8; μ = 10, σ = 2) = 0,1587

b) En aquest cas es tracta de trobar la probabilitat que la variable aleatòria x estigui per sota de la mitjana que en aquest cas val 10. La resposta no requereix cap càlcul, ja que sabem que la meitat de les dades estan per sota de la mitjana i l'altra meitat per sobre de la mitjana. Per això, la resposta és:

P (x ≤ 10) = N (x = 10; μ = 10, σ = 2) = 0,5

c) Per respondre a aquesta pregunta cal calcular N (x = 12; μ = 10, σ = 2), la qual cosa pot fer-se amb una calculadora que tingui funcions estadístiques o mitjançant un programari com és el cas del GeoGebra:

Figura 3. Densitat de probabilitat f (x; μ, σ). L'àrea ombrejada representa P (x ≤ 12). (Elaboració pròpia)

La resposta a la part c pot veure a la figura 3 i és:

P (x ≤ 12) = N (x = 12; μ = 10, σ = 2) = 0,8413.

d) Per trobar la probabilitat que la variable aleatòria x estigui compresa entre 8 i 12 podem usar els resultats de les parts aic de la següent manera:

P (8 ≤ x ≤ 12) = P (x ≤ 12) - P (x ≤ 8) = 0,8413-,1587 = 0,6826 = 68,26%.

exercici resolt

El preu mitjà de les accions d'una empresa és de $ 25 amb una desviació típica de $ 4. Determineu la probabilitat que:

a) Una acció tingui un cost menor de $ 20.

b) Que tingui un cost major de $ 30.

c) El preu estigui comprès entre $ 20 i $ 30.

Usar les taules de distribució normal tipificada per trobar les respostes.

solució:

Per poder fer ús de les taules, cal passar a la variable z normalitzada o tipificada:

$ 20 en la variable normalitzada equival az = ($ 20 - $ 25) / $ 4 = -5/4 = -1,25 i

$ 30 en la variable normalitzada equival az = ($ 30 - $ 25) / $ 4 = +5/4 = +1,25.

a) $ 20 equival a -1,25 en la variable normalitzada, però la taula no té valors negatius, de manera que situem el valor +1,25 que llança el valor de 0,8944.

Si a aquest valor se li resta 0,5 el resultat serà l'àrea entre 0 i 1,25 que, per cert, és idèntica (per simetria) a l'àrea entre -1.25 i 0. El resultat de la resta és 0,8944 - 0,5 = 0,3944 que és l'àrea entre -1.25 i 0.

Però interessa l'àrea des -∞ fins -1,25 que serà 0,5-0,3944 = 0,1056. Es conclou per tant que la probabilitat que una acció estigui per sota de $ 20 és 10,56%.

b) $ 30 en la variable tipificada z és 1,25. Per a aquest valor en la taula apareix el nombre 0,8944 que correspon a l'àrea des de -∞ fins +1,25. L'àrea entre +1.25 i + ∞ és (1 -,8944) = 0,1056. És a dir que la probabilitat que una acció costi més de $ 30 és 10,56%.

c) La probabilitat que una acció tingui un cost comprès entre $ 20 i $ 30 es calcularà així:

100% -10,56% - 10,56% = 78,88%

referències

1. Estadística i probabilitat. Distribució normal. Recuperat de: proyectodescartes.org
2. Geogebra. Geogebra clàssic, càlcul de probabilitat. Recuperat de geogebra.org
3. MathWorks. Distribució de Gauss. Recuperat de: es.mathworks.com
4. Mendenhall, W. 1981. Estadística per Administració i Economia. 3ra. edició. Grup Editorial Iberoamèrica.
5. Stat Trek. Teach yourself Statistics. Poisson Distribution. Recuperat de: stattrek.com,
6. Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11th. Ed. Pearson Education.
7. Universitat de Vigo. Principals distribucions contínues. Recuperat de: anapg.webs.uvigo.es
8. Wikipedia. Distribució normal. Recuperat de: es.wikipedia.org