DISTÀNCIA EUCLIDIANA: CONCEPTE, FÓRMULA, CÀLCUL, EXEMPLE - MATEMÀTIQUES - 2025

La distància euclidiana és un nombre positiu que indica la separació que tenen dos punts en un espai on es compleixen els axiomes i teoremes de la geometria d'Euclides.

La distància entre dos punts A i B d'un espai euclidià és la longitud de el vector AB pertanyent a l'única recta que passa per aquests punts.

Figura 1. Espai euclidià unidimensional conformat per la recta (OX). Es mostren diversos punts sobre l'esmentat espai, les seves coordenades i distàncies. (Elaborat per Ricardo Pérez).

L'espai que percebem i on ens movem els éssers humans és un espai tridimensional (3-D), on es compleixen els axiomes i teoremes de la geometria d'Euclides. En aquest espai estan continguts subespais bidimensionals (plànols) i subespais unidimensionals (rectes).

Els espais euclidians poden ser d'una dimensió (1-D), de dues dimensions (2-D), tres dimensions (3-D) o de n dimensions (nd).

Són punts en l'espai unidimensional X els que pertanyen a la recta orientada (OX), la direcció des de O cap a X és la direcció positiva. Per ubicar els punts sobre aquesta recta s'usa el sistema cartesià que consisteix a assignar a cada punt de la recta un nombre.

fórmula

Es defineix la distància euclidiana d (A, B) entre els punts A i B, situats sobre una recta, com l'arrel quadrada de l'quadrat de les diferències de les seves coordenades X:

d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)

Aquesta definició garanteix que: la distància entre dos punts sigui sempre una quantitat positiva. I que la distància entre A i B sigui igual a la distància entre B i A.

A la figura 1 es mostra l'espai euclidià unidimensional conformat per la recta (OX) i diversos punts sobre aquesta recta. Cada punt té una coordenada:

El punt A té coordenada XA = 2.5, el B coordenada XB = 4 i el punt C coordenada XC = -2.5

d (A, B) = √ ((4 - 2.5) 2) = 1.5

d (B, A) = √ ((2.5 - 4) 2) = 1.5

d (A, C) = √ ((- 2.5 - 2.5) 2) = 5.0

Distància euclidiana en dues dimensions

L'espai euclidià bidimensional és un pla. Els punts d'un pla euclidià compleixen els axiomes de la geometria d'Euclides, per exemple:

- Per dos punts passa una sola recta.

- Tres punts sobre el pla formen un triangle els angles interns sempre sumen 180º.

- En un triangle rectangle el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels seus catets.

En dues dimensions un punt té coordenades X i Y.

Per exemple un punt P té coordenades (XP, YP) ​​i un punt Q coordenades (XQ, YQ).

Es defineix la distància euclidiana entre el punt P i Q amb la següent fórmula:

d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)

Ha de notar-se que aquesta fórmula és equivalent a el teorema de Pitàgores, tal com ho mostra la figura 2.

Figura 2. La distància entre dos punts P i Q de l'àmbit compleix el teorema de Pitàgores. (Elaborat per Ricardo Pérez).

Superfícies no-euclidianes

No tots els espais bidimensionals compleixen la geometria euclidiana. La superfície d'una esfera és un espai bidimensional.

Els angles d'un triangle sobre una superfície esfèrica no sumen 180 º i amb això no es compleix el teorema de Pitàgores, per tant una superfície esfèrica no compleix els axiomes d'Euclides.

Distància euclidiana en n dimensions

El concepte de coordenades pot estendre a dimensions majors:

- En 2-D el punt P té coordenades (XP, YP)

- En 3-D un punt Q té coordenades (XQ, YQ, ZQ)

- En 4-D el punt R tindrà coordenades (XR, IR, ZR, WR)

- En nd un punt P tindrà coordenades (P1, P2, P3,….., Pn)

La distància entre dos punts P i Q d'un espai euclidià n-dimensional es calcula amb la següent fórmula:

d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 +…….. + (Qn - Pn) ^ 2)

El lloc geomètric de tots els punts Q en un espai euclidià n-dimensional que equidisten d'un altre punt P fix (al centre) formen una hiperesfera n-dimensional.

Com calcular la distància euclidiana

A continuació es mostra com es calcula la distància entre dos punts situats en l'espai tridimensional euclidià.

Suposi el punt A de coordenades cartesianes x, y, z donades per A:(2, 3, 1) i el punt B de coordenades B:(-3, 2, 2).

Es vol determinar la distància entre aquests punts, per a això es fa ús de la relació general:

d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) febrer)

d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5,196

exemple

Es tenen dos punts P i Q. El punt P de coordenades cartesianes x, y, z donades per P:(2, 3, 1) i el punt Q de coordenades Q:(-3, 2, 1).

Es demana trobar les coordenades del punt mitjà M de el segment que connecta els dos punts.

Se suposa que el punt desconegut M té coordenades (X, Y, Z).

Com M és punt mig de s'ha de complir que d (P, M) = d (Q, M), per la qual cosa també ha de complir-d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2:

(X - 2) ^ 2 + (I - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (I - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2

Com en aquest cas, el tercer terme és igual en els dos membres l'expressió anterior es simplifica a:

(X - 2) ^ 2 + (I - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (I - 2) ^ 2

Es té llavors una equació amb dues incògnites X i Y. Es requereix d'una altra equació per poder solucionar el problema.

El punt M pertany a la recta que passa pels punts P i Q, la qual podem calcular de la següent manera:

Primer es troba el vector director PQ de la recta: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.

Després PM = OP + a PQ, on OP és el vector posició del punt P ja és un paràmetre que pertany als nombres reals.

L'equació anterior es coneix com equació vectorial de la recta, que en coordenades cartesianes adopta la següent manera:

<X-2, I-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>

Igualant les components corresponents es té:

X - 2 = 2 - 5 a; I - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0

És a dir que X = 4 - 5a, I = 6 - a, finalment Z = 1.

Se substitueix en l'expressió quadràtica que relaciona X amb Y:

(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2

Es simplifica:

(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2

Ara es desenvolupa:

4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a

Es simplifica, cancel·lant termes semblants en els dos membres:

4 - 20a +9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a

S'aïlla el paràmetre a:

52 a = 49 + 16 - 49 = 52 resultant que a = 1.

És a dir que X = 4 - 5, I = 6 - 1, finalment Z = 1.

Finalment obtenim les coordenades cartesianes del punt mitjà M de l'segment:

M: (-1, 5, 1).

referències

1. Lehmann C. (1972) Geometria analítica. UTEHA.
2. Superprof. Distància entre dos punts. Recuperat de: superprof.es
3. UNAM. Distància entre varietats sublineales afins. Recuperat de: prometeo.matem.unam.mx/
4. wikipedia. Distància euclidiana. Recuperat de: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Espai euclidià. Recuperat de: es.wikipedia.com