DIÀMETRE: SÍMBOLS I FÓRMULES, COM TREURE-HO, CIRCUMFERÈNCIA - MATEMÀTIQUES - 2025

El diàmetre és la línia recta que passa pel centre d'una corba plana tancada o bé una figura en dues o tres dimensions i que a més uneix els seus punts oposats. Usualment es tracta d'una circumferència (una corba plana), un cercle (una figura plana), una esfera o un cilindre circular recte (objectes tridimensionals).

Malgrat que circumferència i cercle solen prendre com a sinònims, hi ha diferència entre els dos termes. La circumferència és la corba tancada que tanca a l'cercle, que compleix amb la condició que la distància entre qualsevol dels seus punts i el centre és la mateixa. Aquesta distància no és altra que el radi de la circumferència. En canvi, el cercle és una figura plana limitada per la circumferència.

Figura 1. El diàmetre de les rodes de les bicicletes és una característica important en el seu disseny. Font: Pixabay.

En cas de circumferència, cercle i esfera, el diàmetre és un segment recte que conté al menys tres punts: el centre més dos punts de la vora de la circumferència o cercle, o la superfície de l'esfera.

I pel que fa a l'cilindre circular recte, el diàmetre es refereix a la secció transversal, que juntament amb l'altura, són els seus dos paràmetres característics.

El diàmetre de la circumferència i el cercle, simbolitzat per ø o simplement la lletra "D" o "d", està relacionat amb el seu perímetre, contorn o longitud, que es denota amb la lletra L:

L = π.D = π. ø

Sempre que es tingui una circumferència, el quocient entre la seva longitud i el seu diàmetre és el nombre irracional π = 3.14159…, d'aquesta manera:

π = L / D

Com treure el diàmetre?

Quan es disposa de el dibuix de la circumferència o de l'cercle, o directament l'objecte circular, com una moneda o un anell per exemple, és molt fàcil treure el diàmetre amb un regle. Simplement cal assegurar-se que la vora de la regla toqui a el mateix temps dos punts de la circumferència i el centre de la mateixa.

Una calibre, vernier o peu de rei és molt adequat per mesurar diàmetres externs i interns en monedes, cèrcols, anells, femelles, tubs i més.

Figura 2. Vernier digital mesurant el diàmetre d'una moneda. Font: Pixabay.

Si en comptes de l'objecte o el seu dibuix es tenen dades com el radi R, llavors multiplicant per 2 es té el diàmetre. I si es coneix la longitud o perímetre de la circumferència també es pot conèixer el diàmetre, mitjançant rebuig:

Una altra manera de treure el diàmetre és coneixent l'àrea de l'cercle, la superfície esfèrica, la secció transversal de l'cilindre, l'àrea corbada d'aquest o els volums de l'esfera o el cilindre. Tot depèn de quina figura geomètrica es tracti. Per exemple, el diàmetre està involucrat en les següents àrees i volums:

-Àrea de el cercle: π. (D / 2) ²

-Àrea de la superfície esfèrica: 4π. (D / 2) ²

-Volum de l'esfera: (4/3) π. (D / 2) ³

Volum de l' cilindre circular recte: π. (d / 2) ².H (H és l'altura de l'cilindre)

Figures d'ample constant

El cercle és una figura plana d'ample constant, ja que per allà on se li miri, l'ample és el diàmetre D. No obstant això, hi ha altres figures potser menys conegudes que el seu ample també és constant.

Primer vegem el que s'entén per amplada d'una figura: és la distància entre dues rectes paral·leles Rectes de suport-, que al seu torn són perpendiculars a la direcció donada i que empresonen la figura, tal com ho mostra a la imatge esquerra:

Figura 3. Ample d'una figura plana qualsevol (esquerra) i triangle Reuleaux, una figura d'ample constant (dreta). Font: F. Zapata.

Seguidament a la dreta hi ha el triangle Reuleaux, que és una figura d'ample constant i que compleix amb la condició especificada en la figura esquerra. Si l'amplada de la figura és D, el seu perímetre ve donat pel teorema de Barbier:

L = π.D

Les clavegueres de la ciutat de San Francisco a Califòrnia tenen forma de triangle Reuleaux, nomenat així per l'enginyer alemany Franz Reuleaux (1829 - 1905). D'aquesta manera les tapes no poden caure pel forat i es gasta menys material en fabricar-les, ja que la seva àrea és menor que la de l'cercle:

A = (1- √3).πD ² = 0.705.D ²

Mentre que per a un cercle:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = 0.785.D ²

Però aquest triangle no és l'única figura d'ample constant. Es poden construir els anomenats polígons de Reuleaux amb altres polígons que tinguin nombre de costats imparell.

Diàmetre d'una circumferència

En la propera figura es troben els elements de la circumferència, definits de la següent manera:

Corda: segment de recta que uneix dos punts de la circumferència. A la figura hi ha la corda que uneix els punts C i D, però es poden traçar infinites cordes que uneixin qualsevol parella de punts de la circumferència.

Diàmetre: és la corda que passa pel centre, unint dos punts de la circumferència amb el centre O. És la corda de més llarga d'un circumferència, per aquest motiu se l'anomena "corda més gran".

Ràdio: segment de recta que uneix el centre amb qualsevol punt de la circumferència. El seu valor, a l'igual que el d'diàmetre, és constant.

Circumferència: és el conjunt de tots els punts que equidisten d'O

Arc: es defineix com un segment de circumferència delimitat per dos radis (no dibuixats a la figura).

Figura 4. Parts de la circumferència, incloent a l'diàmetre, que passa pel centre. Font: Wikimedia Commons.

- Exemple 1

El rectangle mostrat mesura 10 polzades d'altura, que a l'enrotllar forma un cilindre circular recte el diàmetre és de 5 polzades. Respondre les següents preguntes:

Figura 5. Un rectangle enrotllat es converteix en un cilindre circular recte. Font: Jiménez, R. Matemàtiques II. Geometria i Trigonometria. 2dóna. Edició. Pearson.

a) Quin és el contorn de l'tub?

b) Trobeu l'àrea de l'rectangle

c) Calculeu l'àrea de la secció transversal de l'cilindre.

solució a

El contorn de l'tub és L = π.D = 5π plg = 15.71 plg.

solució b

L'àrea de l'rectangle és base x altura, sent la base L ia calculada i l'alçada és de 10 plg segons l'enunciat, per tant:

A = 15.71 plg x 10 plg = 157.1 plg ².

solució c

Finalment, l'àrea demanada es calcula així:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = (π / 4) x (5 plg) ² = 19.63 plg ².

- Exemple 2

Calcular l'àrea ombrejada de la figura 5a. El quadrat té costat L.

Figura 6. Trobar l'àrea ombrejada a la figura esquerra. Jiménez, R. Matemàtiques II. Geometria i Trigonometria. 2dóna. Edició. Pearson.

solució

A la figura 5b s'han dibuixat dos semicercles idèntics de mida en colors rosa i blau, superposats a la figura original. Entre tots dos fan un cercle complet. Si es calcula l'àrea de l'quadrat i se li resta l'àrea de l'cercle, fa l'àrea ombrejada de la figura 5b. I fixant-se bé, resulta que és la meitat de l'àrea ombrejada en 5a.

-Quadrat d'àrea: L ²

-Diàmetre de l'semicercle: L

-Àrea de el cercle: π. (L / 2) ² = (π / 4) L ²

-Diferència d'àrees = meitat de l'àrea ombrejada =

L ² - (π / 4) L ² = L ² = 0,2146 L ²

-Àrea ombrejada = 2 x 0,2146 L ² = 0.4292L2

Quants diàmetres té una circumferència?

Es poden traçar infinits diàmetres en una circumferència, i qualsevol d'ells mesura el mateix.

referències

1. Antoni. Triangles de Reuleaux i altres corbes d'ample constant. Recobrat de: divulgadores.com.
2. Baldor, A. 2002. Geometria Plana i de l'Espai i Trigonometria. Grup Pàtria Cultural.
3. Jiménez, R. Matemàtiques II. Geometria i Trigonometria. 2dóna. Edició. Pearson.
4. Wikipedia. Triangle de Reuleaux. Recobrat de: es.wikipedia.org.
5. Wolfram MathWorld. Diameter. Recuperat de: mathworld.wolfram.com.