- Com es resolen les derivades implícites?
- Regla de la cadena
- ordre operacional
- implícita
- història
- aplicacions
- exercicis resolts
- exercici 1
- exercici 2
- referències
Les derivades implícites són eines que s'utilitzen en una tècnica de diferenciació aplicada a funcions. S'apliquen quan no és possible, sota mètodes regulars, realitzar el rebuig de la variable dependent que es vol derivar. Aquest refús es realitza en funció a la variable independent.
Per exemple, en l'expressió 3xy 3 - 2y + xy 2 = xy, no es pot aconseguir l'expressió que defineix a "i" en funció de "x". De manera que a l'derivar es pugui obtenir l'expressió diferencial dy / dx.
Com es resolen les derivades implícites?
Per resoldre una derivada implíctia, es parteix d'una expressió implícita. Per exemple: 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0. Aquesta ja s'ha buidat correctament, però fer-ho no és una condició necessària per obtenir la derivada de y respecte a x. Després, es deriva cada un dels elements respectant la regla de la cadena per a funcions mixtes:
3xy 3 es compon per 2 variables, per tant d (3xy 3) es tractarà com la derivada d'un producte de funcions.
d (3xy 3) / dx = 3y 3 + 3y 2. (3x) i '= 3y 3 + 9xy 2 i'
On l'element i 'es coneix com "i prima" i representa dy / dx
-2y Es deriva segons la llei KU = K.U '
d (-2y) = -2 i '
xi 2 suposa un altre diferencial compost per un producte de funcions
d (xi 2) = i 2 + 2xy i '
-xi es tracta de forma homòloga
d (-xi) = -i - x i '
Es substitueixen en la igualtat, coneixent que la derivada de zero és zero.
3y 3 + 9xy 2 i '- 2 i' + i 2 + 2xy i '- i - x i' = 0
S'agrupen en un costat de la igualtat dels elements que posseeixen el terme i '
3y 3 + i 2 - i = -9xy 2 i '+ 2 i' + x i '
S'extreu el factor comú i 'al membre dret de la igualtat
3y 3 + i 2 - i = i '(-9xy 2 + x + 2)
Finalment s'aïlla el terme que multiplica a i '. Obtenint-se així l'expressió corresponent a la derivada implícita d'i respecte a x.
i '= dy / dx = (3y 3 + i 2 - i) / (- 9xy 2 + x + 2)
Regla de la cadena
En la derivació implícita es respecta sempre la regla de la cadena. Totes les expressions diferencials es donaran en funció de la variable independent X. De manera que tota variable θ diferent de X, ha d'incloure el terme dθ / dx després de ser derivada.
Aquest terme apareixerà únicament en primer grau o amb exponent igual a 1. Aquesta qualitat ho fa completament despejable sota mètodes tradicionals de factorització. De manera que es fa possible l'obtenció de l'expressió que defineix a el diferencial dθ / dx.
A la regla de la cadena es mostra el caràcter progressiu de l'procés de diferenciació o derivada. On per tota funció composta f, s'ha de l'expressió diferencial de f serà
ordre operacional
A cada fórmula o llei de derivació que s'apliqui, s'ha de tenir en compte l'ordre de les variables entre si. Es respecten els criteris associats a la variable independent, sense alterar la seva correlació amb la variable dependent.
La relació de la variable dependent a l'hora de derivar es pren de manera directa.; amb l'excepció que es considerarà a aquesta com una segona funció, raó per la qual s'aplica el criteri de regla de la cadena per a funcions mixtes.
Això es pot desenvolupar en expressions amb més de 2 variables. Sota els mateixos principis es denotaran tots els diferencials referents a les variables dependents.
Gràficament es maneja el mateix criteri que defineix la derivada. Mentre la derivada és el pendent de la recta tangent a la corba en el pla, la resta de diferencials pertanyents a les variables dependents (dy / dx, dz / dx) representen plànols tangents als cossos vectorials descrits per les funcions de variable múltiple.
implícita
Es diu que una funció està implícitament definida, si l'expressió i = f (x) pot representar-se com una funció de variable múltiple F (x, y) = 0 mentre F estigui definit en el pla R 2.
3xy 3 - 2y + xy 2 = xi es pot escriure de la forma 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0
En vista de la impossibilitat d'explicitar la funció i = f (x).
història
El càlcul diferencial va començar a ser nomenat per diversos investigadors matemàtics, al voltant de al segle XVII. La primera vegada que es va esmentar va ser a través de les aportacions de Newton i Leibniz. Tots dos van tractar el càlcul diferencial des de diferents punts de vista, però convergint en els seus resultats.
Mentre Newton es va enfocar en la diferenciació com una velocitat o taxa de variació, l'enfocament de Leibniz va ser més geomètric. Es pot dir que Newton va atacar les conjectures deixades per Apol·loni de Perge i Leibniz les idees geomètriques de Fermat.
La derivació implícita apareix immediatament a l'plantejar les equacions diferencials i integrals. Aquestes van estendre el concepte geomètric de Leibniz fins a R 3 i fins i tot a espais multidimensionals.
aplicacions
Les derivades implícites s'utilitzen en diverses situacions. Són comuns en els problemes de taxa de canvi entre variables relacionades, on, segons sigui el sentit de l'estudi, es consideren dependents o independents les variables.
També tenen aplicacions geomètriques interessants, com per exemple en problemes de reflexions o ombres, sobre figures la forma pot modelar matemàticament.
Són de freqüent ús en les àrees d'economia i enginyeria, així com també en diverses investigacions de fenòmens naturals i edificacions experimentals.
exercicis resolts
exercici 1
Definiu l'expressió implícita que defineix a dy / dx
Es diferencia cada element de l'expressió
Establint la regla de la cadena en cada cas competent
Agrupant en un costat de la igualtat als elements que posseeixen dy / dx
Es factoritza usant el factor comú
S'aïlla obtenint l'expressió buscada
exercici 2
Definiu l'expressió implícita que defineix a dy / dx
Expressant les derivades a efectuar
Derivant implícitament segons regla de la cadena
Factoritzant elements comuns
Agrupant el terme di / dx en un costat de la igualtat
Factor comú a l'element diferencial
Aïllem i obtenim l'expressió buscada
referències
- Calculus of a Single Variable. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 nov. 2008
- The Implicit Function Theorem: History, Theory, and Applications. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 nov. 2012
- Multivariable Analysis. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media 13 des. 2010
- System Dynamics: Modeling, Simulation, and Control of Mechatronic Systems. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 mar. 2012
- Calculus: Mathematics and Modeling. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R.Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 ena. 1999