- Com es calcula?
- Característiques de la funció cotangent
- asímptotes verticals
- domini
- rang
- freqüència
- comportament
- demostració
- Demostració diferencial trigonomètrica
- Demostració per definició de derivada
- exercicis resolts
- exercici 1
- exercici 2
- referències
La derivada de la cotangent és igual a l'oposat de l'quadrat de la cosecant "-Csc 2 ". Aquesta fórmula obeeix a les lleis de derivada per definició ia la diferenciació de funcions trigonomètriques. Es denota de la següent manera:
d (CTG u) = -csc 2 u. du
On "du" simbolitza l'expressió derivada de la funció argument, pel que fa a la variable independent.
Font: Pixabay.com
Com es calcula?
El procediment per a desenvolupar aquestes derivades és bastant simple. Només cal tan sols amb identificar correctament l'argument i el tipus de funció que representa.
Per exemple, l'expressió CTG (f / g) presenta una divisió en el seu argument. Això farà necessària una diferenciació referent a U / V, després de desenvolupar la derivada de la cotangent.
La cotangent és la funció inversa de la tangent. Algebraicament això vol dir que:
(1 / tg x) = CTG x
CTG x = Cos x / Sen x
És incorrecte dir que la funció cotangent és la "inversa" de la tangent. Això es deu al fet que la funció inversa de la tangent per definició és arc tangent.
(Tg -1 x) = arctan x
Segons la trigonometria pitagòrica, la cotangent està involucrada en els següents apartats:
CTG x = (cos x) / (sin x)
CTG 2 x + 1 = Csc 2 x
D'acord a la trigonometria analítica respon a les següents identitats:
CTG (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)
CTG (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)
CTG (2a) = (1 - tg 2 a) / (2tg a)
Característiques de la funció cotangent
Cal analitzar diverses característiques de la funció f (x) = CTG x per poder definir els aspectes necessaris per estudiar la seva diferenciabilitat i aplicació.
asímptotes verticals
La funció cotangent no està definida en els valors que fan zero a l'expressió "sinx". A causa del seu equivalent CTG x = (cos x) / (sin x), tindrà una indeterminació en tots els "NOMB RE" amb n pertanyent als sencers.
És a dir, que a cada un d'aquests valors de x = NOMB RE hi haurà una asímptota vertical. A l'apropar-se per l'esquerra el valor de l'cotangent disminuirà ràpidament, i a l'apropar-se per la dreta, la funció augmentarà indefinidament.
domini
El domini de la funció cotangent està expressat pel conjunt {x ∈ R / x ≠ NOMB RE, n ∈ Z}. Aquest es llegeix com «x que pertany a el conjunt dels nombres reals tal que, x és diferent de NOMB RE, amb n pertanyent a el conjunt dels nombres enters».
rang
El rang de la funció cotangent abasta des de menys fins a més infinit. Per això es pot concloure que el seu rang és el conjunt dels nombres reals R.
freqüència
La funció cotangent és periòdica i el seu període és igual a π. D'aquesta manera es compleix la igualtat CTG x = CTG (x + NOMB RE), on n pertany a Z.
comportament
És una funció senar, ja que CTG (-x) = - CTG x. D'aquesta manera se sap que la funció presenta una simetria pel que fa a l'origen coordinat. També presenta un decreixement en tot interval situat entre 2 asímptotes verticals successives.
No posseeix valors màxims ni mínims, a causa que les seves aproximacions a les asímptotes verticals presenten comportaments on la funció creix o decreix de manera indefinida.
Els zeros o arrels de la funció cotangent es troben en els múltiples senars de π / 2. Això vol dir que es compleix CTG x = 0 en els valors de la forma x = NOMB RE / 2 amb n sencer imparell.
demostració
Existeixen 2 formes de demostrar la derivada de la funció cotangent.
Demostració diferencial trigonomètrica
Es demostra la derivada de la funció cotangent des de la seva equivalent en sinus i cosinus.
Es tracta com la derivada d'una divisió de funcions
Després de derivar s'agrupen els factors i es busca emular les identitats pitagòriques
Substituint les identitats i aplicant reciprocitat s'obté l'expressió
Demostració per definició de derivada
La següent expressió correspon a la derivada per definició. On s'acosta a zero la distància entre 2 punts de la funció.
Substituint per a la cotangent s'ha de:
S'apliquen identitats per a la suma d'arguments i reciprocitat
S'opera de manera tradicional la fracció de numerador
Eliminant els elements oposats i traient factor comú s'obté
Aplicant identitats pitagòriques i reciprocitat s'ha de
Els elements avaluats en x són constants respecte de el límit, per tant poden sortir de l'argument d'aquest. Després s'apliquen propietats de límits trigonomètrics.
El límit és avaluat
Després es factoritza fins arribar a el valor desitjat
Queda demostrada així la derivada de la cotangent com l'oposat de l'quadrat de la cosecant.
exercicis resolts
exercici 1
Segons la funció f (x), defineixi l'expressió f '(x)
S'aplica la derivació corresponent respectant la regla de la cadena
Derivant l'argument
De vegades és necessari aplicar identitats recíproques o trigonomètriques per adequar les solucions.
exercici 2
Definiu l'expressió diferencial corresponent a F (x)
Segons la fórmula de derivació i respectant la regla de la cadena
Es procedeix a derivar l'argument, mentre la resta roman igual
Derivant la totalitat dels elements
Operant de manera tradicional els productes de la mateixa base
Es sumen els elements iguals i s'extreu el factor comú
Es simplifiquen i operen els signes. Donant pas a l'expressió completament derivada
referències
- Trigonometric Sèries, Volum 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
- Calculus of a Single Variable. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 nov. 2008
- Calculus with trigonometry and analytic geometry. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Saxon Publishers, 1988
- Multivariable Analysis. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media 13 des. 2010
- System Dynamics: Modeling, Simulation, and Control of Mechatronic Systems. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 mar. 2012
- Calculus: Mathematics and Modeling. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 ena. 1999