QUADRILÀTER: ELEMENTS, PROPIETATS, CLASSIFICACIÓ, EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

Un quadrilàter és un polígon de quatre costats i quatre vèrtexs. Els seus costats oposats són els que no tenen vèrtexs en comú, mentre que són costats consecutius els que tenen un vèrtex comú.

En un quadrilàter són angles adjacents els que comparteixen una banda, mentre els angles oposats no tenen costats en comú. Una altra característica important d'un quadrilàter és que la suma dels seus quatre angles interns és dues vegades l'angle pla, és a dir 360º o 2π radiants.

Figura 1. Quadrilàters diversos. Font: F. Zapata.

Les diagonals són els segments que uneixen un vèrtex amb el seu oposat i en un quadrilàter donat, des de cada vèrtex es pot traçar una sola diagonal. El nombre total de diagonals d'un quadrilàter és dues.

Els quadrilàters són figures conegudes per la humanitat des de temps antics. Els registres arqueològics, així com les construccions que sobreviuen avui dia, donen fe.

Igualment en l'actualitat els quadrilàters segueixen tenint una important presència en la vida quotidiana de tots. El lector pot trobar aquesta forma a la pantalla en la qual llegeix el text en aquest precís moment, en les finestres, les portes, les parts automotrius i incomptables llocs més.

Classificació dels quadrilàters

D'acord a l'paral·lelisme dels costats oposats, els quadrilàters es classifiquen així:

1. Trapezoide, quan no hi ha paral·lelisme i el quadrilàter és convex.
2. Trapezi, quan hi ha paral·lelisme entre un sol parell de costats oposats.
3. Paral·lelogram, quan els seus costats oposats són paral·lels dos a dos.

Figura 2. Classificació i subclassificació dels quadrilàters. Font: Wikimedia Commons.

Tipus de paral

Al seu torn els paral·lelograms poden classificar-se segons els seus angles i els seus costats de la següent manera:

1. Rectangle, és el paral·lelogram que té els seus quatre angles interns de la mateixa mida. Els angles interns d'un rectangle formen un angle recte (90º).
2. Quadrat, és un rectangle amb els seus quatre costats d'igual mida.
3. Rombe, és el paral amb els seus quatre costats iguals, però els angles adjacents diferents.
4. Romboide, paral amb angles adjacents diferents.

trapezi

El trapezi és un quadrilàter convex amb dos costats paral·lels.

Figura 3. Bases, laterals, altura i mitjana d'un trapezi. Font: Wikimedia Commons.

- En un trapezi els costats paral·lels es diuen bases i els no paral·lels s'anomenen laterals.

- L'altura d'un trapezi és la distància que hi ha entre les dues bases, és a dir la longitud d'un segment amb extrems en les bases i perpendicular a les mateixes. Aquest segment també se l'anomena una alçada de el trapezi.

- La mitjana és el segment que uneix els punts mitjans de les laterals. Es pot demostrar que la mitjana és paral·lela a les bases de l'trapezi i la seva longitud és igual a la semisuma de les bases.

- L'àrea d'un trapezi és la seva altura multiplicada per la semisuma de les bases:

Tipus de trapezis

-Trapezi rectangle: és el que té una lateral perpendicular a les bases. Aquesta lateral també és altura de l'trapezi.

-Trapezi isòsceles: el que té laterals d'igual longitud. En un trapezi isòsceles els angles adjacents a les bases són iguals.

-Trapezi escalè: el que té els seus laterals de diferent longitud. Els seus angles oposats poden ser un agut i l'altre obtús, però també pot ocórrer que tots dos siguin obtusos o tots dos aguts.

Figura 4. Tipus de trapezi. Font: F. Zapata.

paral·lelogram

El paral és un quadrilàter els costats oposats són paral·lels dos a dos. En un paral els angles oposats són iguals i els angles adjacents són suplementaris, o dit d'una altra manera, els angles adjacents sumen 180º.

Si un paral·lelogram té un angle recte, llavors tots els altres angles també ho seran i la figura resultant es diu rectangle. Però si a més el rectangle té els seus costats adjacents de la mateixa longitud, llavors tots els seus costats són iguals i la figura resultant és un quadrat.

Figura 5. Paral·lelograms. El rectangle, el quadrat i el rombe són paral·lelograms. Font: F. Zapata.

Quan un paral·lelogram té dos costats adjacents de la mateixa longitud, tots els seus costats seran de la mateixa longitud i la figura resultant és un rombe.

L'altura d'un paral·lelogram és un segment amb extrems en els seus costats oposats i perpendicular als mateixos.

Àrea d'un paral·lelogram

L'àrea d'un paral·lelogram és el producte de la base per la seva altura, sent la base una banda perpendicular a l'altura (figura 6).

Diagonals d'un paral·lelogram

El quadrat de la diagonal que parteix d'un vèrtex és igual a la suma dels quadrats dels dos costats adjacents a aquest vèrtex més el doble producte d'aquests costats pel cosinus de l'angle d'aquest vèrtex:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Figura 6. Paral·lelogram. Angles oposats, alçada, diagonals. Font: F. Zapata.

El quadrat de la diagonal oposada a el vèrtex d'un paral·lelogram és igual a la suma dels quadrats dels dos costats adjacents a aquest vèrtex i restat el doble producte d'aquests costats pel cosinus de l'angle d'aquest vèrtex:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Llei dels paral·lelograms

En qualsevol paral·lelogram la suma dels quadrats dels seus costats és igual a la suma dels quadrats de les diagonals:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

Re ctángulo

El rectangle és un quadrilàter amb els costats oposats paral·lels dos a dos i que a més té un angle recte. És a dir que el rectangle és un tipus de paral amb un angle recte. Per ser paral·lelogram, el rectangle té els seus costats oposats d'igual longitud a = cib = d.

Però com en qualsevol paral·lelogram els angles adjacents són suplementaris i els angles oposats iguals, en el rectangle per tenir un angle recte, ha de formar necessàriament angles rectes en els altres tres angles. És a dir en un rectangle tots els angles interns mesuren 90º o π / 2 radians.

Diagonals d'un rectangle

En un rectangle les diagonals són d'igual longitud, com es demostrarà a continuació. El raonament és el següent; un rectangle és un paral·lelogram amb tots els seus angles rectes i per això hereta totes les propietats de l'paral, inclosa la fórmula que dóna la longitud de les diagonals:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

amb α = 90º

Com Cos (90º) = 0, llavors passa que:

f ² = g ² = a ² + d ²

És a dir que f = g, i per tant les longituds fig de les dues diagonals de l'rectangle són iguals i la seva longitud ve donada per:

A més, si en un rectangle de costats adjacents i b una banda es pren com a base l'altre costat serà altura i conseqüentment l'àrea de l'rectangle serà:

Àrea de l'rectangle = ax b.

El perímetre és la suma de tots els costats de l'rectangle, però com els oposats són iguals es té llavors que per a un rectangle de costats a i b el perímetre ve donat per la següent fórmula:

Perímetre de l'rectangle = 2 (a + b)

Figura 7. Rectangle de costats ai b. Les diagonals fig són d'igual longitud. Font: F. Zapata.

quadrat

El quadrat és un rectangle amb els seus costats adjacents de la mateixa longitud. Si el quadrat té costat a, llavors les seves diagonals fig tenen la mateixa longitud, la qual és f = g = (√2) a.

L'àrea d'un quadrat és el seu costat elevat a el quadrat:

Àrea d'un quadrat = a ²

El perímetre d'un quadrat és el doble de la banda:

Perímetre d'un quadrat = 4 a

Figura 8. Quadrat de costat a, indicant la seva àrea, el perímetre i la longitud de les seves diagonals. Font: F. Zapata..

rombe

El rombe és un paral amb els seus costats adjacents de la mateixa longitud, però com en un paral·lelogram els costats oposats són iguals llavors, tots els costats d'un rombe són d'igual longitud.

Les diagonals d'un rombe són de longitud diferent, però es tallen en angle recte.

Figura 9. Rombe de costat a, indicant la seva àrea, el perímetre i la longitud de les seves diagonals. Font: F. Zapata.

exemples

exemple 1

Demostrar que en un quadrilàter (no creuat) els angles interns sumen 360º.

Figura 10: Es demostra com la suma dels angles d'un quadrilàter sumen 360º. Font: F. Zapata.

Es considera un quadrilàter ABCD (veure figura 10) i es traça la diagonal BD. Es formen dos triangles ABD i BCD. La suma dels angles interns d'el triangle ABD és:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

I la suma dels angles interns d'el triangle BCD és:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Sumant les dues equacions s'obté:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

agrupant:

α + (β ₁ + β ₂) + (δ ₁ + δ ₂) + γ = 2 * 180 º

Agrupant i canviant el nom, finalment es demostra que:

α + β + δ + γ = 360º

exemple 2

Demostrar que la mitjana d'un trapezi és paral·lela a les seves bases i la seva longitud és la semisuma de les bases.

Figura 11. Mitjana MN de l'trapezi ABCD. Font: F. Zapata.

La mitjana d'un trapezi és el segment que uneix els punts mitjans dels seus laterals, és a dir els costats no paral·lels. En el trapezi ABCD mostrat a la figura 11 la mitjana és MN.

Per ser M punt mitjà d'AD i N punt mig de BC, es compleix que els quocients AM / AD i BN / BC són iguals.

És a dir, AM és proporcional a BN en la mateixa proporció que AD és a BC, de manera que es donen les condicions per a l'aplicació de l'teorema (recíproc) de Thales que afirma el següent:

"Si en tres o més rectes tallades per dos secants es determinen segments proporcionals, llavors aquestes rectes són totes paral·leles".

En el nostre cas es conclou que les rectes MN, AB i DC són paral·leles entre si, per tant:

"L a mitjana d'un trapezi és paral·lela a les seves bases".

Ara s'aplicarà el teorema de Thales:

"Un conjunt de paral·leles tallades per dos o més secants determinen segments proporcionals".

En el nostre cas AD = 2 AM, AC = 2 AO, de manera que el triangle DAC és semblant a el triangle MAO, i conseqüentment DC = 2 MO.

Un argument similar permet afirmar que CAB és semblant a AMB, on CA = 2 CO i CB = 2 CN. Immediatament es dedueix que AB = 2 ON.

En resum, AB = 2 ON i DC = 2 MO. Així que a l'sumar ens queda:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Finalment es buida MN:

MN = (AB + DC) / 2

I es conclou que la mitjana d'un trapezi mesura la semisuma de les bases, o dit d'una altra manera: la mitjana mesura la suma de les bases, dividida entre dues.

exemple 3

Demostrar que en un rombe les diagonals es tallen en angle recte.

Figura 12. Rombe i demostració que les seves diagonals es tallen en angle recte. Font: F. Zapata.

La pissarra de la figura 12 mostra la construcció necessària. Primer es traça el paral ABCD amb AB = BC, és a dir un rombe. Les diagonals AC i DB determinen vuit angles mostrats a la figura.

Usant el teorema (AIP) que afirma que angles alterns interns entre paral·leles tallades per una secant determinen angles iguals, podem establir el següent:

α ₁ = γ ₁, α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ i δ2 = β2. (*)

D'altra banda, com els costats adjacents d'un rombe són d'igual longitud, es determinen quatre triangles isòsceles:

DAB, BCD, CDA i ABC

Ara s'invoca el teorema dels triangles (isòsceles) que afirma que els angles adjacents a la base són de la mateixa mida, d'on es conclou que:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁, α2 = γ ₁ i α ₁ = γ2 (**)

Si es combinen les relacions (*) i (**) s'arriba a la següent igualtat d'angles:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ d'una banda i β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 per l'altra.

Recordant el teorema dels triangles iguals que afirma que dos triangles amb un costat igual entre dos angles iguals són iguals es té:

AOD = AOB i conseqüentment també els angles ∡AOD = ∡AOB.

Després ∡AOD + ∡AOB = 180º, però com els dos angles són de la mateixa mesura es disposa de 2 ∡AOD = 180 º el que implica que ∡AOD = 90º.

És a dir, queda demostrat geomètricament que les diagonals d'un rombe es tallen en angle recte.

exercicis resolt

- Exercici 1

Demostrar que en un trapezi rectangle, els angles no-rectes són suplementaris.

solució

Figura 13. Trapezi rectangle. Font: F. Zapata.

Es construeix el trapezi ABCD amb bases AB i DC paral·leles. L'angle interior de l'vèrtex A és recte (mesura 90º), per la qual cosa té un trapezi rectangle.

Els angles α i δ són angles interns entre dues paral·leles AB i DC, per tant són iguals, és a dir δ = α = 90º.

D'altra banda s'ha demostrat que la suma dels angles interns d'un quadrilàter suma 360º, és a dir:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

L'anterior condueix a:

β + δ = 180º

Confirmant el que es volia demostrar, que els angles β i δ són suplementaris.

- Exercici 2

Un paral·lelogram ABCD té AB = 2 cm i AD = 1 cm, a més l'angle BAD és de 30º. Determineu l'àrea d'aquest paral·lelogram i la longitud de les seves dues diagonals.

solució

L'àrea d'un paral·lelogram és el producte de la longitud de la seva base per l'altura. En aquest cas es prendrà com a base la longitud de l'segment b = AB = 2 cm, l'altre costat té longitud a = AD = 1 cm i l'altura h es calcularà de la següent manera:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Llavors: Àrea = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ².

referències

1. CEA (2003). Elements de geometria: amb exercicis i geometria de el compàs. Universitat De Medellín.
2. Camps, F., Cerecedo, FJ (2014). Matemàtiques 2. Grup Editorial Pàtria.
3. Freed, K. (2007). Discover Polygons. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generalized Polygons. Birkhäuser.
5. IGER. (Sf). Matemàtica Primer Semestre Tacaná. IGER.
6. Jr. geometry. (2014). Polygons. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matemàtica: Raonament I Aplicacions (Desena Edició). Pearson Educació.
8. Patiño, M. (2006). Matemàtiques 5. Editorial Progrés.
9. Wikipedia. Quadrilàters. Recuperat de: es.wikipedia.com