- Solucions d'una equació Quadràtica
- 1.-
- 2.- En els nombres complexos
- Com es calculen les solucions d'una equació quadràtica?
- exemples:
- referències
Una equació de segon grau o equació de segon grau, pot tenir zero, una o dues solucions reals, depenent dels coeficients que apareguin en aquesta equació.
Si es treballa en els nombres complexos llavors es pot dir que tota equació de segon grau té dues solucions.
Per començar una equació quadràtica és una equació de la forma ax² + bx + c = 0, on a, bic són nombres reals i x és una variable.
Es diu que x1 és una solució de l'equació quadràtica anterior si a l'reemplaçar x per x1 es satisfà l'equació, és a dir, si a (x1) ² + b (x1) + c = 0.
Si es té per exemple l'equació x²-4x + 4 = 0, llavors x1 = 2 és solució ja que (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.
Per contra, si es substitueix x2 = 0 s'obté (0) ²-4 (0) + 4 = 4 i com 4 ≠ 0 llavors x2 = 0 no és solució de l'equació quadràtica.
Solucions d'una equació Quadràtica
El nombre de solucions d'una equació de segon grau es pot separar en dos casos que són:
1.-
Quan es treballa amb els números reals, les equacions quadràtiques poden tenir:
-Cero solucions: és a dir, que no hi ha cap nombre real que satisfaci l'equació quadràtica. Per exemple, l'equació donada l'equació x² + 1 = 0, no hi ha cap nombre real tal que satisfaci aquesta equació, ja que tant x² és més gran o igual que zero i 1 és més gran estricte que zero, de manera que la seva suma serà més gran estricta que zero.
-Una solució repetida: hi ha un únic valor real que satisfà l'equació quadràtica. Per exemple, l'única solució de l'equació x²-4x + 4 = 0 és x1 = 2.
-Dos solucions diferents: hi ha dos valors que satisfan l'equació quadràtica. Per exemple, x² + x2 = 0 té dues solucions diferents que són x1 = 1 i x2 = -2.
2.- En els nombres complexos
A l'treballar amb els nombres complexos les equacions quadràtiques sempre tenen dues solucions les quals són z1 i z2 on z2 és el conjugat de z1. A més es poden classificar en:
-Complexos: les solucions són de la forma z = p ± qi, on piq són número reals. Aquest cas correspon a el primer cas de la llista anterior.
-Complexos Purs: és quan la part real de la solució és igual a zero, és a dir que la solució té la forma z = ± qi, on q és un nombre real. Aquest cas correspon a el primer cas de la llista anterior.
-Complexos amb part imaginària igual a zero: és quan la part complexa de la solució és igual a zero, és a dir que la solució és un nombre real. Aquest cas correspon als dos últims casos de la llista anterior.
Com es calculen les solucions d'una equació quadràtica?
Per calcular les solucions d'una equació de segon grau s'utilitza una fórmula coneguda com "la resolvent" que diu que les solucions d'una equació ax² + bx + c = 0 vénen donades per l'expressió de la següent imatge:
La quantitat que apareix dins de l'arrel quadrada és cridada el discriminant de l'equació quadràtica i és denotat per la lletra "d".
L'equació quadràtica tindrà:
-Dos solucions reals si, i només si, d> 0.
-Una solució real repetida si, i només si, d = 0.
-Cero solucions reals (o dues solucions complexes) si, i només si, d <0.
exemples:
-Les solucions de l'equació x² + x-2 = 0 vénen donades per:
-La equació x²-4x + 4 = 0 té una solució repetida la qual ve donada per:
-Les solucions de l'equació x² + 1 = 0 vénen donades per:
Com es pot apreciar en aquest últim exemple, x2 és el conjugat de x1.
referències
- Fonts, A. (2016). MATEMÀTIQUES BÀSIQUES. Una Introducció a l'Càlcul. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Mathematics: quadratic equations.: How solve a quadratic equation. Marilú Garo.
- Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matemàtiques per a administració i economia. Pearson Educació.
- Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemàtiques 1 SET. Llindar.
- Preciado, CT (2005). Curs de Matemàtiques 3r. Editorial Progrés.
- Rock, NM (2006). Àlgebra I Is Easy! So Easy. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Àlgebra i Trigonometria. Pearson Educació.