Ràpidament es pot saber quins són els divisors de 30, així com de qualsevol altre nombre (diferent de zero), però la idea fonamental és aprendre com es calculen els divisors d'un nombre de manera general.
Cal tenir cura quan es parla de divisors, pel fet que pot establir-se de manera ràpida que tots els divisors de 30 són 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 i 30, però què passa amb els negatius d'aquests nombres ? Són divisors o no?
Divisors de 30
Per donar resposta a la pregunta anterior és necessari comprendre un terme molt important en el món de les matemàtiques: l'algoritme de la divisió.
Algorisme de la divisió
L'algoritme de la divisió (o divisió euclidiana) diu el següent: donats dos nombres enters «n» i «b», en què «b» diferent de zero (b ≠ 0), hi ha únics sencers «q» i «r», tals que n = bq + r, on 0 ≤ r <-b-.
A el nombre «n» se li crida dividend, a «b» se li crida divisor, a «q» se l'anomena quocient ia «r» se l'anomena la resta o residu. Quan la resta «r» és igual a 0 es diu que «b» divideix «n», i això es denota per «bn».
L'algoritme de la divisió no es restringeix a valors positius. Per tant, un nombre negatiu pot ser divisor d'algun altre nombre.
Per què 7,5 no és divisor de 30?
Usant l'algorisme de la divisió es pot veure que 30 = 7,5 × 4 + 0. La resta és igual a zero, però no pot dir-se que 7,5 divideix 30 perquè, quan es parla de divisors, s'està parlant només de nombres enters.
Divisors de 30
Com s'aprecia en la imatge, per a trobar els divisors de 30 primer han de trobar els seus factors primers.
Llavors, 30 = 2x3x5. D'aquí es conclou que 2, 3 i 5 són divisors de 30. Però també ho són els productes d'aquests factors primers.
De manera que 2 × 3 = 6, 2 × 5 = 10, 3 × 5 = 15 i 2x3x5 = 30 són divisors de 30. L'1 també és un divisor de 30 (encara que en realitat és un divisor de qualsevol nombre).
Es pot concloure que 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 i 30 són divisors de 30 (tots compleixen l'algoritme de la divisió), però cal recordar que els seus negatius també són divisors.
Per tant, tots els divisors de 30 són: -30, -15, -10, -6, -5, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 i 30.
El après a dalt pot aplicar-se amb qualsevol nombre sencer.
Per exemple, si es volen calcular els divisors de 92, es procedeix com abans. Es descompon com un producte de nombres primers.
Es divideix 92 entre 2 i s'obté 46; ara es divideix 46 entre 2 novament i s'obté 23.
Aquest últim resultat és un nombre primer, de manera que no tindrà més divisors a més de l'1 i el mateix 23.
Podem llavors escriure 92 = 2x2x23. Procedint com abans, es conclou que 1,2,4,46 i 92 són divisors de 92.
Finalment, s'inclouen els negatius d'aquests números a la llista anterior, amb la qual cosa la llista de tots els divisors de 92 és -92, -46, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 46, 92.
referències
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1988). Introducció a la Teoria de Nombres. Sant Josep: EUNED.
- Bustillo, AF (1866). Elements de Matemàtiques. Imp. De Santiago Aguado.
- Guevara, MH (sf). Teoria de Els Números. Sant Josep: EUNED.
- J., AC, & A., LT (1995). Com Desenvolupar El Raonament Logico Matemàtica. Santiago de Xile: Editorial Universitària.
- Jiménez, J., Delgado, M., & Gutiérrez, L. (2007). Guia Pensi II. Edicions Llindar.
- Jiménez, J., Teshiba, M., Teshiba, M., Romo, J., Álvarez, M., Villafania, P., Nesta, B. (2006). Matemàtiques 1 Aritmètica i Preálgebra. Edicions Llindar.
- Johnsonbaugh, R. (2005). Matemàtiques Discretes. Pearson Educació.