Per conèixer quina és la arrel quadrada de 3, és important conèixer la definició de l'arrel quadrada d'un nombre.
Donat un nombre positiu «a», l'arrel quadrada de «a», denotada per √a, és un nombre positiu «b» tal que quan «b» es multiplica pel mateix, el resultat és «a».
La definició matemàtica diu: √a = b si, i només si, b² = b * b = a.
Per tant, per conèixer quina és l'arrel quadrada de 3, és a dir el valor de √3, s'ha de trobar un nombre «b» tal que b² = b * b = √3.
A més, √3 és un nombre irracional, amb la qual cosa aquest consta d'una quantitat infinita no periòdica de decimals. Per aquesta raó, és complicat calcular l'arrel quadrada de 3 manualment.
Arrel quadrada de 3
Si s'utilitza una calculadora es pot s'aprecia que l'arrel quadrada de 3 és 1,73205080756887…
Ara, es podria intentar manualment apropar aquest número de la següent manera:
-1 * 1 = 1 i 2 * 2 = 4, això diu que l'arrel quadrada de 3 és un nombre entre 1 i 2.
-1,7 * 1,7 = 2,89 i 1,8 * 1,8 = 3,24, per tant la primera xifra decimal és 7.
-1,73 * 1,73 = 2,99 i 1,74 * 1,74 = 3,02, així la segona xifra decimal es 3.
-1,732 * 1,732 = 2,99 i 1,733 * 1,733 = 3,003, per tant la tercera xifra decimal és 2.
I així successivament es pot continuar. Aquesta és una forma manual de calcular l'arrel quadrada de 3.
També hi ha altres tècniques molt més avançades, com ara el mètode de Newton- Raphson, el quin és un mètode numèric per calcular aproximacions.
On podem trobar a el nombre √3?
Per complicat de el nombre, podria pensar-se que no apareix en objectes quotidians però això és fals. Si es té una galleda (caixa quadrada), tal que la longitud dels seus costats sigui 1, llavors les diagonals de la galleda tindran una mesura de √3.
Per comprovar això s'utilitza el teorema de Pitàgores que diu: donat un triangle rectangle, la hipotenusa a el quadrat és igual a la suma dels quadrats dels catets (c² = a² + b²).
A l'tenir una galleda de costat 1, s'ha de la diagonal d'el quadrat de la seva base és igual a la suma dels quadrats dels catets, és a dir, c² = 1a + 1a = 2, per tant la diagonal de la base mesura √2.
Ara, per calcular la diagonal d'el cub es pot observar la següent figura.
El nou triangle rectangle té catets de longituds 1 i √2, per tant, a l'usar el teorema de Pitàgores per calcular la longitud de la seva diagonal s'obté: C² = 1a + (√2) ² = 1 + 2 = 3, és a dir, C = √3.
Així, la longitud de la diagonal d'un cub de costat 1 és igual a √3.
√3 un nombre irracional
A l'començament es va dir que √3 és un nombre irracional. Per comprovar això, se suposa per l'absurd que és un nombre racional, amb la qual cosa hi ha dos números "a" i "b", cosins relatius, tals que a / b = √3.
A l'elevar la quadrat l'última igualtat i aclarir «a²», s'obté la següent equació: a² = 3 * b². Això diu que «a²» és múltiple de 3, amb la qual cosa es conclou que «a» és múltiple de 3.
A l'ésser «a» múltiple de 3, hi ha un enter «k» tal que a = 3 * k. Per tant, a l'reemplaçar en la segona equació s'obté: (3 * k) ² = 9 * k² = 3 * b², el que és el mateix que b² = 3 * k².
A l'igual que abans, aquesta última igualtat porta a la conclusió que «b» és múltiple de 3.
En conclusió, «a» i «b» són els dos múltiples de 3, la qual cosa és una contradicció, ja que a el principi es va suposar que eren cosins relatius.
Per tant, √3 és un nombre irracional.
referències
- Bails, B. (1839). Principis d'arismética. Imprès per Ignacio Complert.
- Bernadet, JO (1843). Tractat elemental complet de dibuix lineal amb aplicacions á les arts. José Matas.
- Herranz, DN, & Quirós. (1818). Aritmètica universal, pura, testamentària, eclesiàstica i comercial. impremta que va ser de Fuentenebro.
- Preciado, CT (2005). Curs de Matemàtiques 3r. Editorial Progrés.
- Szecsei, D. (2006). Basic Math and Pre-Algebra (illustrated ed.). Career Press.
- Vallejo, JM (1824). Aritmètica de nens… Im. Que va ser de García.