CRITERIS DE DIVISIBILITAT: QUÈ SÓN, PER A QUÈ SERVEIXEN I REGLES - MATEMÀTIQUES - 2025

Els c riteris de divisibilitat són arguments teòrics utilitzats per determinar si una xifra sencera és divisible entre un altre nombre enter. Ja que les divisions han de ser exactes, aquest criteri s'aplica només per al conjunt de nombres enters Z. Per exemple la xifra 123 és divisible entre tres, segons els criteris de divisibilitat de l'3, els quals s'especificaran més endavant.

Es diu que una divisió és exacta si el seu residu és igual a zero, sent el residu el valor diferencial obtingut en el mètode de divisió manual tradicional. Si el residu resulta diferent de zero la divisió és inexacta, i és necessari expressar la xifra resultant amb valors decimals.

Font: Pexels.com

Per a què serveixen els criteris de divisivilidad?

La seva major utilitat s'estableix prèvia a una divisió manual tradicional, on es fa necessari conèixer si s'obtindrà una xifra sencera després de realitzar aquesta divisió.

Són comuns en l'obtenció d'arrels pel mètode de Ruffini i altres procediments referents a la factorització. Aquesta és una eina coneguda per a estudiants que, per motius pedagògics, no tenen permès encara l'ús de calculadores o eines digitals de càlcul.

Regles més comuns

Hi criteris de divisibilitat per molts números sencers, que majorment són utilitzats per al treball amb nombres primers. No obstant això, també poden aplicar-se amb altres tipus de nombres. A continuació es defineixen alguns d'aquests criteris.

Criteri de divisibilitat de l'un "1"

No hi ha un criteri divisibilitat en concret per al número u. Només cal establir que tot nombre enter és divisible entre un. Això es deu al fet que tot nombre multiplicat per un roman sense alteració.

Criteri de divisibilitat de el dos "2"

S'afirma que un nombre és divisible entre dos si el seu últim dígit o nombre referent a les unitats, és zero o parell.

S'observen els següents exemples:

234: És divisible entre 2 a causa de que acaba en 4 que és xifra parell.

2035: No és divisible entre 2 ja que 5 no és parell.

1200: És divisible entre 2 a causa de que el seu últim dígit és zero.

Criteri de divisibilitat de l'03:00 "3"

Una xifra serà divisible entre tres si la suma dels seus dígits per separat és igual a un nombre múltiple de tres.

123: És divisible entre tres, ja que la suma dels seus termes 1 + 2 + 3 = 6 = 3 x 2

451: No és divisible entre 3, el que es comprova a l'verificar que 4 + 5 + 1 = 10, no és múltiple de tres.

Criteri de divisibilitat de el quatre "4"

Per determinar si un nombre és múltiple de quatre es necessita verificar que les seves dues últimes xifres siguin 00 o un nombre múltiple de quatre.

3822: Observant les seves dues últimes xifres "22" es detalla que no són múltiple de quatre, per tant la xifra no és divisible entre 4.

644: Se sap que 44 = 4 x 11, de manera que 644 és divisible entre quatre.

3200: Per ser les seves últimes xifres 00 es conclou que la xifra és divisible entre quatre.

Criteri de divisibilitat de l'cinc "5"

Resulta bastant intuïtiu que el criteri de divisibilitat de el cinc és que el seu últim dígit sigui igual a cinc o zero. Ja que a la taula de el cinc s'observa que tots els resultats acaben amb algun d'aquests dos nombres.

350, 155 i 1605 són segons aquest criteri xifres divisibles entre cinc.

Criteri de divisibilitat de l'06:00 "6"

Perquè un nombre sigui divisible entre sis s'ha de complir que sigui divisible a el mateix temps entre 2 i 3. Això té sentit, a causa de que la descomposició de 6 és igual a 2 × 3.

Per comprovar la divisibilitat entre sis, s'analitzen per separat els criteris corresponents a 2 i 3.

468: Per acabar en nombre parell compleix amb el criteri de divisibilitat entre 2. A l'sumar per separat els dígits que componen a la xifra es obté 4 + 6 + 8 = 18 = 3 x 6. Es compleix el criteri de divisibilitat de el 3. per tant, 468 és divisible entre sis.

622: El seu nombre parell corresponent a les unitats indica que és divisible entre 2. Però a l'sumar els seus dígits per separat: 6 + 2 + 2 = 10, que no és múltiple de 3. D'aquesta manera es verifica que 622 no és divisible entre sis.

Criteri de divisibilitat de l'07:00 "7"

Per aquest criteri s'ha de separar a el número complet en 2 parts; unitats i resta de l'nombre. El criteri de divisibilitat entre set serà que la resta entre el nombre sense les unitats i el doble de les unitats, és igual a zero oa un múltiple de set.

Això s'entén millor mitjançant exemples.

133: El nombre sense les unitats és 13 i el doble de les unitats és 3 × 2 = 6. D'aquesta manera es fa a continuació la resta. 13-6 = 7 = 7 × 1. D'aquesta manera s'assegura que 133 és divisible entre 7.

8435: Es fa la resta de 843 - 10 = 833. A l'observar-se que 833 és encara massa gran per per determinar la divisibilitat, s'aplica el procés un cop més. 83-6 = 77 = 7 x 11. Es verifica així que 8435 és divisible entre set.

Criteri de divisibilitat de el vuit "8"

S'ha de complir que les tres últimes xifres del número siguin 000 o un múltiple de 8.

3456 i 73000 són divisibles entre vuit.

Criteri de divisibilitat de l'09:00 "9"

De manera similar a l'criteri de divisibilitat de el tres, s'ha de verificar que la suma dels seus dígits per separat sigui igual a un múltiple de nou.

3438: A l'efectuar-se la suma s'obté 3 + 4 + 3 + 8 = 18 = 9 x 2. Es verifica així que 3438 és divisible entre nou.

1451: Sumant els dígits per separat, 1 + 4 + 5 + 1 = 11. A el no ser múltiple de nou es verifica que 1451 no és divisible entre nou.

Criteri de divisibilitat d'el deu "10"

Només els números que acabin en zero seran divisibles entre deu.

20, 1000, i 2030 són divisibles entre deu.

Criteri de divisibilitat de l'onze "11"

Aquest és un dels més complexos, però treballar en ordre garanteix la seva fàcil verificació. Perquè una xifra sigui divisible entre onze s'ha de complir que la suma dels dígits en posició parell, menys, la suma dels dígits en posició imparell sigui igual a zero o múltiple d'onze.

39.369: La suma de les xifres parells serà 9 + 6 = 15. I la suma de les xifres de posició imparell és 3 + 3 + 9 = 15. D'aquesta forma a l'efectuar la resta 15-15 = 0 es verifica que 39.369 és divisible entre onze.

referències

1. Criteria for Divisibility. NN Vorobyov. University of Chicago Press, 1980
2. Elementary Number Theory in Nine Chapters. James J. Tattersall. Cambridge University Press 14 d'oct. 1999
3. History of the Theory of Numbers: Divisibility and primality. Leonard Eugene Dickson. Chelsea Pub. Co, 1971
4. Divisibility by 2-powers of Certain Quadratic Class Numbers. Peter Stevenhagen. University of Amsterdam, Department of Mathematics and Computer Science, 1991
5. Aritmètica elemental. Enzo R. Gentile. Secretaria General de l'Organització dels Estats Americans, Programa regional de desenvolupament Científic i Tecnològic, 1985