COORDENADES RECTANGULARS: EXEMPLES I EXERCICIS RESOLTS - MATEMÀTIQUES - 2026

Les coordenades rectangulars o cartesianes són aquelles que s'obtenen a l'projectar ortogonalment sobre els tres eixos cartesians X, Y, Z un punt situat en l'espai tridimensional.

Els eixos cartesians són rectes orientades mútuament perpendiculars entre si. En el sistema de coordenades cartesià, a cada punt de l'espai se li assignen tres nombres reals que són les seves coordenades rectangulars.

Figura 1. Coordenades rectangulars de el punt P (elaboració pròpia)

Un pla és un subespai de l'espai tridimensional. En cas de considerar punts sobre un pla, n'hi ha prou llavors amb triar un parell d'eixos perpendiculars X, I com a sistema cartesià. Llavors a cada punt de l'plànol se li assignen dos nombres reals que són les seves coordenades rectangulars.

Origen de coordenades rectangulars

Les coordenades rectangulars van ser proposades originalment pel matemàtic francès René Descartes (1596 i 1650), motiu pel qual reben la denominació de cartesianes.

Amb aquesta idea de Descartes, als punts de el pla i de l'espai se li assignen nombres, de manera que les figures geomètriques tenen associades una equació algebraica i els teoremes geomètrics clàssics poden ser demostrats algebraicament. Amb les coordenades cartesianes neix la geometria analítica.

El pla cartesià

Si en un pla es trien dues rectes perpendiculars que es tallen en un punt O; i si a més a cada recta se li assigna una direcció i una escala numèrica entre punts equidistants successius, es té llavors un sistema o pla cartesià en què cada punt de l'plànol s'associa un parell ordenat de dos nombres reals que són les seves projeccions respectivament sobre els eixos X i Y.

Els punts A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) i D = (3, -3) es representen en el pla cartesià com es mostra a continuació:

Figura 2. Punts en el pla cartesià. (Elaboració pròpia)

Cal notar que els dos eixos X i Y divideixen el pla en quatre sectors denominats quadrants. El punt A està en el primer quadrant, el B en el segon quadrant, el C en el tercer quadrant i el punt D en el quart quadrant.

Distància entre dos punts

La distància entre dos punts A i B de el pla cartesià és la longitud de l'segment que els uneix. Aquesta distància es pot calcular analíticament de la següent manera:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ai) ^ 2)

La fórmula anterior s'obté mitjançant l'aplicació de l'teorema de Pitàgores.

Aplicant aquesta fórmula als punts A, B de la figura 2 es té:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

És a dir, que d (A, B) = 5,10 unitats. Cal notar que la distància es va obtenir sense la necessitat de mesurar amb un regle, s'ha seguit un procediment completament algebraic.

Expressió analítica d'una recta

Les coordenades rectangulars permet la representació analítica d'objectes geomètrics fonamentals com el punt i la recta. Dos punts A i B defineixen una única recta. Es defineix el pendent de la recta com el quocient entre la diferència de les coordenades I de el punt B menys l'A, dividida entre la diferència de les coordenades X de el punt B menys el A:

pendent = (By - Ai) / (Bx - Ax)

Un punt qualsevol P de coordenades (x, y) que pertanyi a la recta (AB) ha de tenir la mateixa pendent:

pendent = (i - Ai) / (x - Ax)

L'equació que s'obté mitjançant la igualtat de les pendents és la representació analítica o algebraica de la recta que passa pels punts A i B:

(I - Ai) / (x - Ax) = (By - Ai) / (Bx - Ax).

Si es pren per a A i B les coordenades rectangulars de la figura 2 es té:

(I - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(I - 2) / (x - 3) = -⅕

En aquest cas particular es té una recta amb pendent negatiu -⅕, el que significa que situant-se sobre un punt de la recta i incrementant la coordenada x en una unitat, la coordenada i decreix en 0,2 unitats.

La forma més usual d'escriure l'equació de la recta en el pla és amb la coordenada i buidada com a funció de la variable x:

i = - (1/5) x + 13/5

exemples

exemple 1

Obtenir mitjançant mètodes analítics les distància entre els punts C i A, sent les coordenades rectangulars de C = (-2, -3) i les de A = (3,2).

La fórmula de la distància euclidiana entre aquests dos punts s'escriu així:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ai) ^ 2)

Substituint les seves corresponents coordenades rectangulars es té:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07

exemple 2

Obtenir l'equació de la recta que passa pel punt C de coordenades (-2, -3) i el punt P de coordenades (2, 0).

En primer lloc s'obté el pendent de la recta CP:

pendent = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Un punt qualsevol Q de coordenades rectangulars genèriques (x, y) que pertanyi a la recta CP ha de tenir la mateixa pendent:

pendent = (i - (- 3)) / (x - (-2)) = (i + 3) / (x +2)

És a dir que l'equació de la recta CP és:

(I +3) / (x + 2) = ¾

una forma alternativa d'escriure l'equació de la recta CP és buidant i:

i = ¾ x - 3/2

exercicis resolts

exercici 1

Obtenir les coordenades rectangulars de el punt d'intersecció entre les rectes i = - (1/5) x + 13/5 i la recta i = ¾ x - 3/2.

Solució: Per definició, el punt d'intersecció de les dues rectes comparteix la mateixes coordenades rectangulars. Per tant, les coordenades i en el punt d'intersecció és idèntic per a ambdues rectes:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

el que condueix a la següent expressió:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

resolent la suma de fraccions s'obté:

19/20 x = 41/10

Aïllant x:

x = 82/19 = 4,32

Per obtenir el valor i de la intersecció se substitueix el valor x obtingut en alguna de les rectes:

i = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Això vol dir que les rectes donades s'intercepten en el punt I de coordenades I = (4,32; 1,74).

exercici 2

Obtenir l'equació de la circumferència que passa pel punt R de coordenades rectangulars (3, 4) i que té centre en l'origen de coordenades.

Solució: El radi R és la distància del punt R a l'origen O de coordenades (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

És a dir, que es tracta d'una circumferència de radi 5 centrada en (0,0).

Un punt P qualsevol (x, y) de la circumferència ha de tenir la mateixa distància 5 a centre (0, 0) per la qual cosa es pot escriure:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (i - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

És a dir:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Per eliminar l'arrel quadrada, s'eleva a el quadrat els dos membres de la igualtat obtenint:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Que és l'equació de la circumferència.

Amb aquest exemple s'il·lustra la potència de l'sistema de coordenades rectangulars, el qual permet determinar objectes geomètrics, com la circumferència sense la necessitat d'usar paper, llapis i compàs. S'ha determinat la circumferència demanada únicament per mètodes algebraics.

referències

1. Arfken G and Weber H. (2012). Matemàtiques methods for physicists. A comprehensive guide. 7th edition. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Càlcul cc. Problemes resolts de coordenades rectangulars. Recuperat de: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. «Cartesian Coordinates.» From MathWorld-A Wolfram web. Recuperat de: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Cartesian coordinate system. Recuperat de: en.wikipedia.com