COORDENADES ESFÈRIQUES: EXEMPLES I EXERCICIS RESOLTS - MATEMÀTIQUES - 2025

Les coordenades esfèriques són un sistema d'ubicació de punts en l'espai tridimensional que consta d'una coordenada radial i dues coordenades angulars denominades coordenada polar i coordinada azimutal.

A la figura 1, que veiem a continuació, es mostra les coordenades esfèriques (r, θ, φ) d'un punt M. Aquestes coordenades estan referides a un sistema ortogonal d'eixos cartesians X, Y, Z d'origen O.

Figura 1. Coordenades esfèriques (r, θ, φ) d'un punt M. (wikimedia commons)

En aquest cas, la coordenada r del punt M és la distància d'aquest punt a l'origen O. La coordenada polar θ representa l'angle entre el semieix positiu Z i el radi vector OM. Mentre que la coordenada azimutal φ és l'angle entre el semieix positiu X i el radi vector OM ', sent M' la projecció ortogonal de M sobre el pla XY.

La coordenada radial r només pren valors positius, però si un punt està ubicat en l'origen llavors r = 0. La coordenada polar θ pren com a valor mínim 0º per punts situats sobre el semieix positiu Z i valor màxim 180º per als punts està ubicat al semieix negatiu Z. Finalment, la coordenada azimutal φ pren com a valor mínim 0º i cota màxima de 360 ​​º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Canvi de coordenades

A continuació es donaran les fórmules que permeten obtenir les coordenades cartesianes (x, i, z) d'un punt M suposant conegudes les coordenades esfèriques de la mateixa (r, θ, φ) punt:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

i = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

De la mateixa manera, és útil trobar les relacions per passar de les coordenades cartesianes (x, i, z) d'un punt donat a les coordenades esfèriques d'aquest punt:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = arctan (y / x)

Base vectorial en coordenades esfèriques

A partir de les coordenades esfèriques es defineix una base ortonormal de vectors base, els quals es denoten per Ur, Uθ, Uφ. A la figura 1 es mostren aquests tres vectors unitaris, els quals tenen les següents característiques:

- Ur és el vector unitari tangent a la recta radial θ = ctte i φ = ctte;

- Uθ és el vector unitari tangent a l'arc φ = ctte ir = ctte;

- Uφ és el vector unitari tangent a l'arc r = ctte i θ = ctte.

Elements de línia i volum en coordenades esfèriques

El vector posició d'un punt en l'espai en coordenades esfèriques s'escriu així:

r = r Ur

Però una variació o desplaçament infinitesimal d'un punt en l'espai tridimensional, en aquestes coordenades està expressat mitjançant la següent relació vectorial:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Finalment, un volum infinitesimal dV en les coordenades esfèriques s'escriu així:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Aquestes relacions són de gran utilitat per al càlcul d'integrals de línia i de volum en les situacions físiques que tinguin simetria esfèrica.

Relació amb les coordenades geogràfiques

S'entén per coordenades geogràfiques les que serveixen per ubicar llocs en la superfície terrestre. Aquest sistema fa servir les coordenades de la latitud i la longitud per ubicar la posició sobre la superfície de la Terra.

En el sistema de coordenades geogràfiques, la superfície terrestre es suposa esfèrica de radi Rt, tot i que se sap que és aplatada en els pols, i es considera un conjunt de línies imaginàries anomenades paral·lels i meridians.

Figura 2. Longitud α i latitud β d'un observador sobre la superfície terrestre.

La latitud β és un angle format per un radi que parteix de centre de la Terra fins al punt que es vol posicionar. Es mesura a partir de l'plànol equatorial, tal com es mostra a la figura 2. D'altra banda, la longitud α és l'angle que el meridià de el punt que s'està ubicant forma respecte de l'meridià zero (conegut com meridià de Greenwich).

La latitud pot ser nord o latitud sud, depenent si el lloc que s'està ubicant està en l'hemisferi nord o en l'hemisferi sud. Similarment, la longitud pot ser oest o est depenent de si la ubicació és a l'oest o l'est d'el meridià zero.

Fórmules per canviar de geogràfiques a esfèriques

Per obtenir aquestes fórmules el primer és establir un sistema de coordenades. Es tria el pla XY coincidint amb el plànol equatorial, sent el semieix positiu X el que va de el centre de la Terra i passant pel meridià zero. Al seu torn, l'eix I passa pel meridià 90º E. La superfície terrestre té ràdio Rt.

Amb aquest sistema de coordenades les transformacions de geogràfiques a esfèrica queden així:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

exemples

exemple 1

Les coordenades geogràfiques de Palma de Mallorca (Espanya) són:

Longitud Aquest 38,847º i Latitud Nord 39,570º. Per determinar les coordenades esfèriques corresponents a Palma s'aplica la primera de les fórmules de les fórmules de la secció prèvia:

38,847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)

Llavors les coordenades esfèriques són:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

En la resposta anterior s'ha pres r igual a el radi mitjà de la Terra.

exemple 2

Sabent que les illes Malvines (Falkland) tenen coordenades geogràfiques 59ºO 51,75ºS, determinar les coordenades polars corresponents. Recordar que l'eix X va de centre de la Terra a l'meridià 0º i sobre el pla equatorial; l'eix I també en el pla equatorial i passant pel meridià 90º Oest; finalment l'eix Z en l'eix de rotació terrestre en sentit sud-nord.

Per trobar llavors les coordenades esfèriques corresponents fem servir les fórmules presentades en la secció anterior:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º) és a dir

Malvines: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

exercicis

exercici 1

Trobar les coordenades cartesianes de Palma de Mallorca en el sistema de referència cartesià XYZ mostrat a la figura 2.

Solució: Prèviament, en l'exemple 1 es va obtenir les coordenades esfèriques partint de les coordenades geogràfiques de Palma de Mallorca. De manera que poden usar-se les fórmules presentades més amunt per passar de esfèriques a cartesianes:

x = 6371 km Sen (50,43º) Cos (38,85º)

i = 6371 km Sen (50,43º) Sen (38,85º)

z = 6371 km Cos (50,43º)

Realitzar els càlculs corresponents es té:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, i = 3081 km, z = 4059)

exercici 2

Trobar les coordenades cartesianes de les illes Malvines en el sistema de referència cartesià XYZ mostrat a la figura 2.

Solució: Prèviament en l'exemple 2 es va obtenir les coordenades esfèriques partint de les coordenades geogràfiques de les illes Malvines. De manera que poden usar-se les fórmules presentades més amunt per passar de esfèriques a cartesianes:

x = 6371 km Sen (141,75º) Cos (301º)

i = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º)

z = 6371 km Cos (141,75º)

Realitzar els càlculs corresponents s'obté:

Illes Malvines: (x = 2031 km, i = -3.381 km, z = -5.003)

referències

1. Arfken G and Weber H. (2012). Matemàtiques methods for physicists. A comprehensive guide. 7th edition. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Càlcul cc. Problemes resolts de coordenades cilíndriques i esfèriques. Recuperat de: calculo.cc
3. Taller astronomia. Latitud i longitud. Recuperat de: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. «Spherical Coordinates.» From MathWorld-A Wolfram web. Recuperat de: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Spherical coordinate system. Recuperat de: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Vector fields in cylindrical and spherical coordinates. Recuperat de: en.wikipedia.com