CONSTANT DE PROPORCIONALITAT: QUÈ ÉS, CÀLCUL, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2025

La constant de proporcionalitat és un element numèric relacional, usat per a definir el patró de semblança entre 2 magnituds que es veuen alterades de manera simultània. És molt comú representar-la com una funció lineal de manera genèrica mitjançant l'expressió F (X) = kx No obstant això, aquesta no és l'única representació d'una proporcionalitat possible.

Per exemple, la relació entre X i Y en la funció I = 3x té una constant de proporcionalitat igual a 3. S'hi observa que a l'créixer la variable independent X, també ho fa la variable dependent I, en el triple del seu valor anterior.

Les alteracions aplicades en una variable, tenen repercussions immediates en l'altra, de manera que hi ha un valor conegut com a constant de proporcionalitat. Aquest serveix per relacionar les diferents magnituds que les dues variables adquireixen.

En què consisteix la constant de proporcionalitat i tipus

Segons la tendència en el canvi de les variables, es poden classificar les proporcionalitats en 2 tipus.

proporcionalitat directa

Suggereix una relació unidireccional entre dues magnituds. En ella, si la variable independent presenta algun creixement, la variable dependent també creixerà. De la mateixa manera, tot decreixement en la variable independent ocasionarà una minva en la magnitud d'I

Per exemple, la funció lineal utilitzada en la introducció; I = 3X, correspon amb una relació directa de proporcionalitat. Això es deu al fet que l'augment de la variable independent X, provocarà un augment de l'triple al valor anterior pres per la variable dependent Y.

De la mateixa manera, la variable dependent disminuirà el triple del seu valor quan X baixi en magnitud.

El valor de la constant de proporcionalitat «K» en una relació directa es defineix com K = I / X.

Proporcionalitat inversa o indirecta

En aquest tipus de funcions, la relació entre les variables es presenta de manera antònima, on el creixement o decreixement de la variable independent correspon respectivament a l'decreixement o creixement de la variable dependent.

Per exemple, la funció F (x) = k / x és una relació inversa o indirecta. Des que el valor de la variable independent comenci a augmentar, el valor de k serà dividit entre una xifra cada vegada més gran, fent que la variable dependent disminueixi de valor segons la proporció.

Segons el valor pres per K es podrà definir la tendència de la funció proporcional inversa. Si k> 0, llavors la funció serà decreixent en tots els números reals. I la seva gràfica es situarà en el 1r i 3r quadrant.

Per contra, si el valor de K és negatiu o menor que zero, la funció serà creixent i la seva gràfica es trobarà en el 2n i 4t quadrant.

Com es calcula?

Existeixen diferents contextos on es pot requerir la definició de la constant de proporcionalitat. En els diferents casos es mostraran diferents dades sobre el problema, on l'estudi d'aquests llançarà finalment el valor de K.

De manera genèrica es pot recapitular el abans esmentat. Els valors de K corresponen a dues expressions segons sigui el tipus de proporcionalitat present:

- Directa: K = I / X

- Inversa o indirecta: K = YX

Segons la seva gràfica

De vegades només es coneixerà parcial o completament la gràfica d'una funció. En aquests casos serà necessari, mitjançant anàlisi gràfica, determinar el tipus de proporcionalitat. Després caldrà definir una coordenada que permeti verificar els valors de X i Y per aplicar a la fórmula de K corresponent.

Les gràfiques referents a proporcionalitats directes són de tipus lineal. D'altra banda, les gràfiques de funcions proporcionals inverses, solen prendre forma d'hipèrboles.

Segons taula de valors

En alguns casos es té una taula de valors amb els valors corresponents a cada iteració de la variable independent. Normalment això implica la realització de la gràfica a més de definir el valor de K.

Segons expressió analítica

Mostra l'expressió que defineix la funció analíticament. De manera directa es pot aclarir el valor de K, o també es pot inferir de l'expressió mateixa.

Per regla de tres directa o composta

En altres models d'exercici es presenten certes dades, que es refereixen a la relació entre els valors. Això fa necessari l'aplicació de regla de tres directa o composta per definir altres dades necessàries en l'exercici.

història

El concepte de la proporcionalitat sempre ha estat present. No només en la ment i obra dels grans matemàtics, sinó en la vida quotidiana de la població, per la seva practicitat i aplicabilitat.

És molt freqüent trobar-se amb situacions que requereixen un enfocament de proporcionalitat. Aquestes es presenten en cada cas on es necessiti comparar variables i fenòmens que guarden certes relacions.

Mitjançant una línia de temps podem caracteritzar els moments històrics, en els quals s'han aplicat avenços matemàtics referents a proporcionalitat.

- Segle II ac S'adopta el sistema d'emmagatzematge de fraccions i proporcions a Grècia.

- Segle V ac Es descobreix també a Grècia la proporció que relaciona el costat i la diagonal d'un quadrat.

- 600 ac Tales de Milet presenta el seu teorema referent a la proporcionalitat.

- Any 900. S'amplia el sistema de decimals usat prèviament per l'Índia en raons i proporcions. Aportació realitzat pels àrabs.

- Segle XVII. Arriben aportacions referents a les proporcions en el càlcul d'Euler.

- Segle XIX. Gauss aporta el concepte de nombre complex i proporció.

- Segle XX. La proporcionalitat com a model de funció és definida per Azcarate i Deulofeo.

exercicis resolts

exercici 1

Es requereix calcular el valor de les variables x, y, zi g. Coneixent les següents relacions proporcionals:

3x + 2y - 6z + 8g = 1925

x / 3 = i / 8 = z / 3 = g / 5

Es procedeix a definir els valors relatius de la constant de proporcionalitat. Aquests els podem obtenir de la segona relació, on el valor que divideix cada variable indica una relació o raó referent a K.

X = 3k i = 2k z = 3 k g = 5k

Se substitueixen els valors en la primera expressió, on el nou sistema quedarà avaluat en una única variable k.

3 (3 k) + 2 (2k) - 6 (3 k) + 8 (5k) = 1925

9k + 4k -18k + 40k = 1925

35k = 1925

K = 1925-1935 = 55

Usant aquest valor de la constant de proporcionalitat podem trobar la xifra que defineix a cadascuna de les variables.

x = 3 (55) = 165 i = 2 (55) = 110

z = 3 (55) = 165 g = 5 (55) = 275

exercici 2

Calcular la constant de proporcionalitat i l'expressió que defineix a la funció, donada la seva gràfica.

En primer lloc, s'analitza la gràfica, sent evident el seu caràcter lineal. Això indica que es tracta d'una funció amb proporcionalitat directa i que el valor de K s'obtindrà mitjançant l'expressió k = i / x

Després s'escull un punt determinable de la gràfica, és a dir, un en que es puguin apreciar de manera exacta les coordenades que el componen.

Per a aquest cas es pren el punt (2, 4). D'on podem establir la següent relació.

K = 4/2 = 2

De manera que l'expressió queda definida per la funció i = kx, que per a aquest cas serà

F (x) = 2x

referències

1. Math for Electricity & Electronics. Dr. Arthur Kramer. Cengage Learning, 27 jul. 2012
2. Vision 2020: The Strategic Role of Operational Research. N. Ravichandran. Allied Publishers, 11 set. 2005
3. Coneixements Gramaticals i aritmètics d'Auxiliar Administratiu De l'Estado.e-book. MAD-Eduforma
4. Reforç de Matemàtiques per a suport i diversificació curricular: per a suport i diversificació curricular. Mª Lourdes Lázaro Soto. Narcea Edicions, 29 ago. 2003
5. Gestió logística i comercial. Maria José Escudero Serrano. Edicions Paranimf, SA, 1 set. 2013