- propietat inversa
- La integral indefinida
- Altres significats de la constant d'integració
- Com es calcula la constant d'integració?
- exemples
- exemple 1
- exemple 2
- exemple 3
- exercicis proposats
- exercici 1
- exercici 2
- exercici 3
- exercici 4
- referències
La constant d'integració és un valor afegit als al càlcul de les antiderivades o integrals, serveix per representar les solucions que conformen la primitiva d'una funció. Expressa una ambigüitat inherent on qualsevol funció compta amb un nombre infinit de primitives.
Per exemple si es pren la funció: f (x) = 2x + 1 i vam aconseguir la seva antiderivada:
∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C; On C és la constant d'integració i representa gràficament la translació vertical entre les infinites possibilitats de la primitiva. És correcte dir que (x 2 + x) és 1 de les primitives de f (x).
Font: autor
De la mateixa manera es pot definir a (x 2 + x + C) com la primitiva de f (x).
propietat inversa
Es pot notar que a l'derivar l'expressió (x 2 + x) s'obté la funció f (x) = 2x + 1. Això es deu a la propietat inversa existent entre la derivació i integració de funcions. Aquesta propietat permet obtenir fórmules d'integració partint des de la diferenciació. La qual cosa permet la verificació d'integrals mitjançant les mateixes derivades.
Font: autor
No obstant això (x 2 + x) no és l'única funció la derivada és igual a (2x + 1).
- d (x 2 + x) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 1) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 2) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 3) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + C) / dx = 2x + 1
On 1, 2, 3 i 4 representen primitives particulars de f (x) = 2x + 1. Mentre que 5 representa la integral indefinida o primitiva de f (x) = 2x + 1.
Font: autor
Les primitives d'una funció s'aconsegueixen mitjançant el procés de antiderivació o integral. On F serà una primitiva de f si es compleix el següent
- i = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = constant d'integració
- F '(x) = f (x)
S'aprecia que una funció posseeix una sola derivada, a diferència dels seus infinites primitives resultants de la integració.
La integral indefinida
∫ f (x) dx = F (x) + C
Correspon a una família de corbes amb el mateix patró, que experimenten incongruència en el valor de les imatges de cada punt (x, y). Cada funció que compleixi amb aquest patró serà una primitiva individual i a el conjunt de totes les funcions se li coneix com integral indefinida.
El valor de la constant d'integració serà el que diferenciï cada funció en la pràctica.
La constant d'integració suggereix un desplaçament vertical en totes les gràfiques que representen a les primitives d'una funció. On s'observa el paral·lelisme entre elles, i el fet que C és el valor de l'desplaçament.
Segons les practiques comunes la constant d'integració es denota amb la lletra "C" posterior a un sumant, encara que en la pràctica és indiferent si la constant es suma o resta. El seu valor real pot ser trobat en diverses formes segons diferents condicions inicials.
Altres significats de la constant d'integració
Ja es va parlar de com la constant d'integració és aplicada en la branca de l' càlcul integral; Representant una família de corbes que defineixen la integral indefinida. Però moltes altres ciències i branques han assignat valors molt interessants i pràctics de la constant d'integració, que han facilitat el desenvolupament de múltiples estudis.
A la física la constant d'integració pot prendre múltiples valors segons la naturalesa de la dada. Un exemple molt comú és conèixer la funció V (t) que representa la velocitat d'una partícula versus el temps t. Se sap que a l'calcular una primitiva de V (t) s'obté la funció R (t) que representa la posició de la partícula versus el temps.
La constant d'integració representarà el valor de la posició inicial, és a dir en l'instant t = 0.
De la mateixa manera, si es coneix la funció A (t) que representa la acceleració de la partícula versus el temps. La primitiva d'A (t) resultarà en la funció V (t), on la constant d'integració serà el valor de la velocitat inicial V 0.
A la economia, a l'obtenir mitjançant integració la primitiva d'una funció de costos. La constant d'integració representarà els costos fixos. I així moltes altres aplicacions que mereixen càlcul diferencial i integral.
Com es calcula la constant d'integració?
Per al càlcul de la constant d'integració, sempre serà necessari conèixer les condicions inicials. Les quals són les encarregades de definir quina de les possibles primitives és la corresponent.
En moltes aplicacions es tracta com a variable independent a el temps (t), on la constant C pren els valors que defineixen les condicions inicials de el cas en particular.
Si es pren l'exemple inicial: ∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C
Una condició inicial vàlida pot ser condicionar al fet que la gràfica passi per una coordenada específica. Per exemple, se sap que la primitiva (x 2 + x + C) passa pel punt (1, 2)
F (x) = x 2 + x + C; aquesta és la solució general
F (1) = 2
Substituïm la solució general en aquesta igualtat
F (1) = (1) febrer + (1) + C = 2
D'on fàcilment es dedueix que C = 0
D'aquesta manera la primitiva corresponent per a aquest cas és F (x) = x 2 + x
Hi ha diversos tipus d'exercicis numèrics que treballen amb constants d'integració. De fet el càlcul diferencial i integral no deixa d'aplicar-se en les investigacions vigents. En diferents nivells acadèmics es poden trobar; des càlcul inicial, passant per física, química, biologia, economia, entre d'altres.
També s'aprecia en l'estudi de equacions diferencials, on la constant d'integració pot prendre diversos valors i solucions, això a causa de les múltiples derivacions i integracions que en aquesta matèria es realitzen.
exemples
exemple 1
- Un canó situat a 30 metres d'altura dispara verticalment cap amunt un projectil. Es coneix que la velocitat inicial de l'projectil és de 25 m / s. determinar:
- La funció que defineix la posició de l'projectil respecte a el temps.
- El temps de vol o instant de temps en què la partícula toca a terra.
Se sap que en un moviment rectilini uniformement variat l'acceleració és un valor constant. Aquest és el cas de l'llançament de projectil, on l'acceleració serà la gravetat
g = - 10 m / s 2
També es coneix que l'acceleració és la segona derivada de la posició, el que indica una doble integració en la resolució de l'exercici, obtenint així dues constants d'integració.
A (t) = -10
V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C 1
Les condicions inicials de l'exercici indiquen que la velocitat inicial és V 0 = 25 m / s. Aquesta és la velocitat en l'instant de temps t = 0. D'aquesta manera es compleix que:
V (0) = 25 = -10 (0) + C 1 i C 1 = 25
Quedant definida la funció velocitat
V (t) = -10t + 25; Es pot observar la similitud amb la fórmula de MRUV (V f = V 0 + AXT)
De manera homòloga es procedeix a integrar la funció velocitat per aconseguir l'expressió que defineix la posició:
R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t 2 + 25t + C 2
R (t) = -5t 2 + 25t + C 2 (primitiva de la posició)
Es coneix la posició inicial R (0) = 30 m. Després es calcula la primitiva particular de l'projectil.
R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C 2. On C 2 = 30
exemple 2
- Trobar la primitiva f (x) que compleixi els requisits inicials:
- f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7
Amb la informació de la segona derivada f '' (x) = 4 comença el procés de antiderivació
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫4 dx = 4x + C 1
Després, a l'conéixer la condició f '(2) = 2 es procedeix:
4 (2) + C 1 = 2
C 1 = -6 i f '(x) = 4x - 8
Es procedeix de la mateixa manera per a la segona constant d'integració
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x 2 - 8x + C 2
Es coneix la condició inicial f (0) = 7 i es procedeix:
2 (0) 2 - 8 (0) + C 2 = 7
C 2 = 7 i f (x) = 2x 2 - 8x + 7
- f '' (x) = x 2; f '(0) = 6; f (0) = 3
De manera similar a el problema anterior definim les primeres derivades i la funció original a partir de les condicions inicials.
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫ (x 2) dx = (x 3 /3) + C 1
Amb la condició f '(0) = 6 es procedeix:
(0 3 /3) + C 1 = 6; On C 1 = 6 i f '(x) = (x 3 /3) + 6
Després la segona constant d'integració
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ dx = (x 4 /12) + 6x + C 2
Es coneix la condició inicial f (0) = 3 i es procedeix:
+ 6 (0) + C 2 = 3; On C 2 = 3
S'obté així la primitiva particular
f (x) = (x 4 /12) + 6x + 3
exemple 3
- Definir les funcions primitives donades les derivades i un punt de la gràfica:
- dy / dx = 2x - 2 Que passa pel punt (3, 2)
És important recordar que les derivades es refereixen a la pendent de la recta tangent a la corba en un punt determinat. On no és correcte assumir que la gràfica de la derivada toca el punt assenyalat, ja que aquest pertany a la gràfica de la funció primitiva.
D'aquesta manera expressem l'equació diferencial de la següent manera:
∫dy = ∫ (2x - 2) dx
Aplicant la condició inicial:
2 = (3) febrer - 2 (3) + C
C = -1
S'obté: f (x) = x 2 - 2x - 1
- dy / dx = 3x 2 - 1 Que hi passa pel punt (0, 2)
Expressem l'equació diferencial de la següent manera:
Aplicant la condició inicial:
2 = (0) 2 - 2 (0) + C
C = 2
S'obté: f (x) = x 3 - x + 2
exercicis proposats
exercici 1
- Trobar la primitiva f (x) que compleixi els requisits inicials:
- f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
- f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
- f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
- f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8
exercici 2
- Un globus que ascendeix amb velocitat de 16 peus / s deixa anar un sac de sorra des d'una altura de 64 peus sobre el nivell de terra.
- Definiu el temps de vol
- Quin serà el vector V f quan toqui el pis?
exercici 3
- La figura mostra la gràfica acceleració - temps d'un acte que es mou en el sentit positiu de l'eix x. L'acte viatjava a una rapidesa constant de 54 km / h quan el conductor va aplicar els frens per aturar-se en 10 segons. Determineu:
- L'acceleració inicial de l'acte
- La velocitat de l'acte en t = 5s
- El desplaçament de l'acte durant la frenada
Font: autor
exercici 4
- Definir les funcions primitives donades les derivades i un punt de la gràfica:
- dy / dx = x Que passa pel punt (-1, 4)
- dy / dx = -x 2 + 1 Que passa pel punt (0, 0)
- dy / dx = -x +1 Que passa pel punt (-2, 2)
referències
- Càlcul Integral. La integral indefinida i mètodes d'integració. Wilson, Velásquez Bastidas. Universitat de l'Magdalena 2014
- Stewart, J. (2001). Càlcul d'una variable. Transcendents Primerenques. Mèxic: Thomson Learning.
- Jiménez, R. (2011). Matemàtiques VI. Càlcul Integral. Mèxic: Pearson Educació.
- Física I. Mc Graw hill