CONJUNT INFINIT: PROPIETATS, EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

S'entén per conjunt infinit aquell conjunt en el qual el nombre dels seus elements és incomptable. És a dir, sense importar el gran que pugui ser el nombre dels seus elements, sempre és possible trobar més.

L'exemple més comú de conjunt infinit és el dels nombres naturals N. No importa el gran que sigui el nombre, ja que sempre es pot aconseguir un major en un procés que no té final:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,………………, 41, 42, 43,………………………………………., 100, 101,………………………, 126, 127, 128,………………………………………}

Figura 1. Símbol de l'infinit. (Pixabay)

El conjunt de les estrelles de l'univers amb tota seguretat és immens, però no se sap amb certesa si és finit o infinit. En contrast amb el nombre de planetes de sistema solar d'el que se sap que és un conjunt finit.

Propietats del conjunt infinit

Entre les propietats dels conjunts infinits podem assenyalar les següents:

1- La unió de dos conjunts infinits dóna lloc a un nou conjunt infinit.

2- unió d'un conjunt finit amb 1 infinit dóna lloc a un nou conjunt infinit.

3- Si el subconjunt d'un conjunt donat és infinit, llavors el conjunt original també ho és. L'afirmació recíproca no és certa.

No es pot trobar un nombre natural capaç d'expressar la cardinalitat o nombre d'elements d'un conjunt infinit. No obstant això, el matemàtic alemany Georg Cantor va introduir el concepte de nombre transfinito per referir-se a un ordinal infinit més gran que qualsevol nombre natural.

exemples

Els naturals N

L'exemple més freqüent d'un conjunt infinit és el dels nombres naturals. Els nombres naturals són els que serveixen per comptar, però són incomptables els números sencers que puguin existir.

El conjunt dels nombres naturals no inclou a zero i es denota comunament com el conjunt N, el qual en forma extensiva s'expressa de la següent manera:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} I és clarament un conjunt infinit.

Els punts suspensius s'usen per indicar que després d'un nombre, el segueix un altre i després un altre en un procés interminable o sense fi.

A el conjunt dels nombres naturals unit amb el conjunt que conté a el número zero (0) se li coneix com el conjunt N +.

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Que és el resultat de la unió del conjunt infinit N amb el conjunt finit O = {0}, donant com a resultat el conjunt infinit N +.

Els enters Z

El conjunt dels nombres enters Z està conformat pels nombres naturals, els nombres naturals amb signe negatiu i el zero.

Els nombres enters Z es consideren una evolució respecte dels nombres naturals N usats original i primitivament en el procés de comptar.

En el conjunt numèric Z dels enters s'incorpora el zero per comptabilitzar o explicar res i els números negatius per comptabilitzar extracció, pèrdua o que falta d'alguna cosa.

Per il·lustrar la idea suposi que en el compte bancari apareix saldo negatiu. Això vol dir que el compte està per sota de zero i no només és que el compte està buida sinó que té una diferència que falta o negativa, que d'alguna manera ha de reposar-se a l'banc.

En forma extensiva el conjunt infinit Z dels nombres enters s'escriu així:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,……..}

Els racionals Q

En l'evolució de l'procés de comptar, i intercanviar coses, béns o serveis, apareixen els nombres fraccionaris o racionals.

Per exemple, en l'intercanvi de mig pa amb dues illes, a l'hora de portar el registre de la transacció, a algú se li va ocórrer que havia d'escriure medi com un dividit o seccionat en dues parts: ½. Però la meitat de la meitat de el pa es registraria en els llibres comptables de la següent manera: ½ / ½ = ¼.

És clar que aquest procés de divisió pot ser interminable en teoria, encara que en la pràctica és fins que s'arribi a l'última partícula de pa.

El conjunt dels nombres racionals (o fraccionaris) es denota de la següent manera:

Q = {………, -3,…., -2,….., -1,……, 0,….., 1,……, 2,….., 3,……..}

Els punts suspensius entre els dos nombres enters vol dir que entre aquests dos nombres o valors hi ha infinites particions o divisions. Per això es diu que el conjunt dels nombres racionals és infinitament dens. Això es deu al fet que sense importar el prop que puguin estar dos nombres racionals entre ells, pot trobar-se infinits valors.

Per il·lustrar l'anterior suposem que se'ns demana trobar o nombre racional entre 2 i 3. Aquest nombre pot ser 2⅓, que és el que es coneix com un nombre mixt consistent en 2 parts senceres més una tercera part de la unitat, el qual és equivalent a escriure 4/3.

Entre 2 i 2⅓ pot trobar-se un altre valor, per exemple 2⅙. I entre 2 i 2⅙ pot trobar-se un altre valor, per exemple 2⅛. Entre aquests dos altre, i entre ells un altre, un altre i un altre.

Figura 2. Infinites divisions en els nombres racionals. (Wikimedia commons)

Nombres irracionals I

Hi ha nombres que no poden escriure com la divisió o fracció de dos nombres enters. És aquest conjunt numèric a què se li coneix com el conjunt I dels nombres irracionals i també és un conjunt infinit.

Alguns elements o representants notables d'aquest conjunt numèric són el nombre pi (π), el nombre d'Euler (i), la raó d'or o nombre auri (φ). Aquests nombres només poden escriure en forma aproximada mitjançant un nombre racional:

π = 3.1415926535897932384626433832795…… (i continua a l'infinit i més enllà…)

i = 2,7182818284590452353602874713527……. (i segueix més enllà de l'infinit…)

φ = 1,61803398874989484820…….. (fins a l'infinit…..i més enllà…..)

Altres números irracionals apareixen a l'intentar trobar solucions a equacions molt senzilles per exemple l'equació X ^ 2 = 2 no té solució racional exacta. La solució exacta s'expressa mitjançant la següent simbologia: X = √2, que es llegeix ics igual arran de dos. Una expressió racional (o decimal) aproximada de √2 és:

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097.

Hi ha un sens fi de nombres irracionals, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) per nomenar alguns.

El conjunt dels reals R

Els nombres reals és el conjunt numèric que amb més freqüència es fa servir en el càlcul matemàtic, en la física i en l'enginyeria. Aquest conjunt numèric és la unió dels nombres racionals Q i els nombres irracionals I:

R = Q U I

Infinit més gran que infinit

Entre els conjunts infinits alguns són més grans que altres. Per exemple, el conjunt dels nombres naturals N és infinit, però és un subconjunt dels nombres enters Z que també és infinit, per tant el conjunt infinit Z és més gran que el conjunt infinit N.

De manera similar, el conjunt dels nombres enters Z és un subconjunt dels nombres reals R, i per tant el conjunt R és "més infinit" que el conjunt infinit Z.

referències

1. Celebèrrima. Exemples de conjunts infinits. Recuperat de: celeberrima.com
2. Fonts, A. (2016). MATEMÀTIQUES BÀSIQUES. Una Introducció a l'Càlcul. Lulu.com.
3. Garo, M. (2014). Mathematics: quadratic equations: How solve a quadratic equation. Marilú Garo.
4. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matemàtiques per a administració i economia. Pearson Educació.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matemàtiques 1 SET. Llindar.
6. Preciado, CT (2005). Curs de Matemàtiques 3r. Editorial Progrés.
7. Rock, NM (2006). Àlgebra I Is Easy! So Easy. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Àlgebra i Trigonometria. Pearson Educació.
9. Wikipedia. Conjunt Infinit. Recuperat de: es.wikipedia.com