CONGRUÈNCIA: FIGURES CONGRUENTS, CRITERIS, EXEMPLES, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2025

La congruència, en geometria, assenyala que si dues figures planes tenen igual forma i dimensions, aquestes són congruents. Per exemple, dos segments són congruents quan les seves longituds són iguals. Així mateix els angles congruents tenen la mateixa mesura, encara que no estiguin orientats de la mateixa manera en el pla.

El terme "congruència" prové de el llatí congruentia, el significat és correspondència. Així doncs, dues figures congruents es corresponen exactament l'una amb l'altra.

Figura 1. Els quadrilàters ABCD i A'B'C'D 'de la figura són congruents: els seus costats tenen la mateixa mesura, així com els seus angles interns. Font: F. Zapata.

Per exemple, si superposem els dos quadrilàters de la imatge, trobarem que són congruents, ja que la disposició dels seus costats és idèntica i aquests mesuren el mateix.

A l'col·locar els quadrilàters ABCD i A'B'C'D 'un sobre l'altre, les figures coincidiran exactament. Els costats coincidents es diuen costats homòlegs o corresponents i per expressar congruència s'utilitza el símbol ≡. Llavors podem afirmar que ABCD ≡ A'B'C'D '.

Criteris de congruència

Les següents característiques són comunes als polígons congruents:

-Potser forma i mida.

-Idénticas mesures dels seus angles.

-Les mateixa mesura en cadascun dels seus costats.

En el cas que dos polígons en qüestió siguin regulars, és a dir, que tots els costats i els angles interns mesuren el mateix, la congruència queda assegurada quan es compleix alguna de les següents condicions:

-Els costats són congruents

-Les apotemes tenen la mateixa mesura

-El ràdio de cada polígon mesura igual

L'apotema d'un polígon regular és la distància entre el centre i un dels costats, mentre que el radi correspon a la distància entre el centre i un vèrtex o cantonada de la figura.

Els criteris de congruència s'utilitzen amb freqüència perquè moltíssimes parts i peces de tot tipus es fabriquen en sèrie i han de tenir la mateixa forma i mesures. D'aquesta manera poden reemplaçar-se fàcilment quan sigui necessari, per exemple femelles, cargols, làmines o les llambordes de terra al carrer.

Figura 2. Les llambordes del carrer són figures congruents, ja que la seva forma i dimensions són exactament iguals, encara que la seva orientació sobre el pis pugui canviar. Font: Pixabay.

Congruència, identitat i semblança

Hi conceptes geomètrics relacionats amb la congruència, ara les figures idèntiques i les figures semblants, que no necessàriament impliquen que les figures siguin congruents.

Cal observar que les figures congruents són idèntiques, però els quadrilàters de la figura 1 podrien orientar-se de maneres diferents sobre el pla i així i seguir sent congruents, ja que l'orientació diferent no canvia la mida dels seus costats ni el dels seus angles. En aquest cas deixarien de ser idèntics.

L'altre concepte és el de la semblança de figures: dues figures planes són semblants si tenen la mateixa forma i els angles interns mesuren el mateix, encara que la grandària de les figures pot ser diferent. Si aquest és el cas, les figures no són congruents.

Exemples de congruència

- Congruència d'angles

Tal com vam indicar a l'començament, els angles congruents tenen la mateixa mida. Hi ha diverses maneres d'obtenir angles congruents:

exemple 1

Dues rectes amb un punt en comú defineixen dos angles, anomenats angles oposats pel vèrtex. Aquests angles tenen la mateixa mesura, per tant són congruents.

Figura 3. Angles oposats pel vèrtex. Font: Wikimedia Commons.

exemple 2

Es tenen dues rectes paral·leles més una recta t que les intersecta a totes dues. A l'igual que en l'exemple anterior, quan aquesta recta intersecta a les paral·leles genera angles congruents, un a cada recta a la part dreta i dos a la banda esquerra. A la figura es mostren α i α ₁, a la dreta de la recta t, que són congruents.

Figura 4. Els angles mostrats en la figura són congruents. Font: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

exemple 3

En un paral hi ha quatre angles interns, els quals són congruents dos a dos. Són els que estan entre vèrtexs oposats, com es mostra en la següent figura, en la qual els dos angles en verd són congruents, així com els dos angles en vermell.

Figura 5. Els angles interns de l'paral·lelogram són congruents dos a dos. Font: Wikimedia Commons.

- Congruència de triangles

Dos triangles de la mateixa manera i igual grandària són congruents. Per fer açò, hi ha tres criteris que es poden examinar en recerca de la congruència:

- Criteri LLL: els tres costats dels triangles tenen les mateixes mesures, per tant L ₁ = L ' ₁; L ₂ = L ' ₂ i L ₃ = L' _març.

Figura 6. Exemple de triangles congruents, els costats mesuren igual. Font: F. Zapata.

- Criteris ALA i AAL: els triangles tenen dos angles interns iguals i el costat entre aquests angles té la mateixa mida.

Figura 7. Criteris ALA i AAL per congruència de triangles. Font: Wikimedia Commons.

- Criteri LAL: dos dels costats són idèntics (corresponents) i entre ells hi ha un mateix angle.

Figura 8. Criteri LAL per congruència de triangles. Font: Wikimedia Commons.

exercicis resolts

- Exercici 1

A la següent figura es mostren dos triangles: ΔABC i ΔECF. Se sap que AC = EF, que AB = 6 i que CF = 10. A més els angles ∡BAC i ∡FEC són congruents i els angles ∡ACB i ∡FCB també ho són.

Figura 9. Triangles per l'exemple resolt 1. Font: F. Zapata.

Llavors la longitud de l'segment BE és igual a:

(I) 5

(Ii) març

(Iii) abril

(Iv) 2

(V) 6

solució

Com els dos triangles tenen un costat de la mateixa longitud AC = EF comprès entre els angles iguals ∡BAC = ∡CEF i ∡BCA = ∡CFE pot dir-se que els dos triangles són congruents pel criteri ALA.

És a dir ΔBAC ≡ ΔCEF, per la qual cosa s'ha de:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Però el segment que vol calcular és BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

De manera que la resposta correcta és la (iii).

- Exercici 2

A la figura que segueix es mostren tres triangles. Se sap a més que els dos angles indicats mesuren 80º cada un i que els segments AB = PD i AP = CD. Trobar el valor de l'angle X assenyalat a la figura.

Figura 10. Triangles per l'exemple resolt 2. Font: F. Zapata.

solució

Cal aplicar les propietats dels triangles, que es van detallant pas a pas.

pas 1

Començant amb el criteri de congruència de triangles LAL, es pot afirmar que els triangles BAP i PDC són congruents:

ΔBAP ≡ ΔPDC

pas 2

L'anterior condueix a afirmar que BP = PC, per tant el triangle ΔBPC és isòsceles i ∡PCB = ∡PBC = X.

pas 3

Si anomenem γ a l'angle BPC, se segueix que:

2x + γ = 180º

pas 4

I si diem β als angles APB i DCP i α als angles ABP i DPC s'ha de:

α + β + γ = 180º (ja que APB és un angle pla).

pas 5

A més, α + β + 80º = 180º per suma d'angles interns de el triangle APB.

pas 6

Combinant totes aquestes expressions s'ha de:

α + β = 100º

pas 7

I per tant:

γ = 80º.

pas 8

Finalment se segueix que:

2X + 80º = 180º

Amb X = 50º.

referències

1. Baldor, A. 1973.Geometría plana i de l'espai. Cultural Centroamericana.
2. CK-12 Foundation. Congruent Polygons. Recuperat de: ck 12.org.
3. Gaudeix les Matemàtiques. Definicions: Ràdio (polígon). Recuperat de: disfrutalasmatematicas.com.
4. Math Open Reference. Testing Polygons for congruence. Recuperat de: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Congruència (geometria). Recuperat de: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Triangles, història, elements, classificació, propietats. Recuperat de: lifeder.com.