- Com determinar els components rectangulars d'un vector?
- Existeixen altres mètodes?
- exercicis
- primer exercici
- segon exercici
- tercer exercici
- referències
Les components rectangulars d'un vector són les dades que conformen aquest vector. Per determinar-los, cal tenir un sistema de coordenades, el qual generalment és el pla cartesià.
Una vegada que es té un vector en un sistema de coordenades, es poden calcular els seus components. Aquestes són 2, un component horitzontal (paral·lela a l'eix X), anomenada «component en l'eix X», i un component vertical (paral·lela a l'eix I), anomenada «component en l'eix Y».
Representació gràfica dels components rectangulars d'un vector
Per poder determinar els components cal conèixer certes dades de el vector com són la seva magnitud i l'angle que aquest forma amb l'eix X.
Com determinar els components rectangulars d'un vector?
Per determinar aquests components, s'han de conèixer certes relacions entre els triangles rectangles i les funcions trigonomètriques.
A la següent imatge es pot apreciar aquesta relació.
Relacions entre els triangles rectangles i les funcions trigonomètriques
El si d'un angle és igual a el quocient entre la mesura de l'catet oposat a l'angle i la mesura de la hipotenusa.
D'altra banda, el cosinus d'un angle és igual a el quocient entre la mesura de l'catet adjacent a l'angle i la mesura de la hipotenusa.
La tangent d'un angle és igual a el quocient entre la mesura de l'catet oposat i la mesura de l'catet adjacent.
En totes aquestes relacions cal establir el triangle rectangle corresponent.
Existeixen altres mètodes?
Sï. Depenent de les dades que siguin proporcionades, la forma de calcular les components rectangulars d'una vector pot variar. Una altra eina que s'utilitza molt és el teorema de Pitàgores.
exercicis
En els següents exercicis es posa en pràctica la definició de les components rectangulars d'un vector i les relacions descrites a dalt.
primer exercici
Se sap que un vector A té magnitud igual a 12 i l'angle que aquest forma amb l'eix X té una mesura de 30 °. Determineu les components rectangulars d'aquest vector A.
solució
Si s'aprecia la imatge i s'utilitzen les fórmules descrites anteriorment es pot concloure que la component en l'eix I de el vector A és igual a
sin (30 °) = Vy / 12, i per tant Vy = 12 * (1/2) = 6.
D'altra banda, s'ha de la component en l'eix X de el vector A és igual a
cos (30 °) = V x / 12, i per tant Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.
segon exercici
Si el vector A té una magnitud igual a 5 i la component en l'eix X és igual a 4, determini el valor de la component de A a l'eix i.
solució
Utilitzant el teorema de Pitàgores, s'ha de la magnitud de el vector A elevada a el quadrat és igual a la suma dels quadrats de les dues components rectangulars. És a dir, M = (V x) ² + (Vy) ².
Substituint els valors proporcionats, s'ha de
5² = (4) ² + (Vy) ², per tant, 25 = 16 + (Vy) ².
Això implica que (Vy) ² = 9 i en conseqüència Vy = 3.
tercer exercici
Si el vector A té una magnitud igual a 4 i aquest forma un angle de 45 ° amb l'eix X, determini les components rectangulars d'aquest vector.
solució
Utilitzant les relacions entre un triangle rectangle i les funcions trigonomètriques, es pot concloure que la component en l'eix I de el vector A és igual a
sin (45 °) = Vy / 4, i per tant Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.
D'altra banda, s'ha de la component en l'eix X de el vector A és igual a
cos (45 °) = V x / 4, i per tant Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.
referències
- Landaverde, FD (1997). Geometria (Reprint ed.). Progrés.
- Leake, D. (2006). Triangles (illustrated ed.). Heinemann-Raintree.
- Pérez, CD (2006). Precàlcul. Pearson Educació.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometries. Tecnològica de CR.
- Sullivan, M. (1997). Precàlcul. Pearson Educació.
- Sullivan, M. (1997). Trigonometria i Geometria Analítica. Pearson Educació.