- Com calcular l'àrea d'un pentàgon?
- Àrea d'un pentàgon regular
- Àrea d'un pentàgon irregular
- Determinant de Gauss
- referències
El àrea d'un pentàgon es calcula mitjançant un mètode conegut com triangulació, el qual es pot aplicar a qualsevol polígon. Aquest mètode consisteix a dividir el pentàgon en diversos triangles.
Després d'això es calcula l'àrea de cada triangle i finalment es sumen totes les àrees trobades. El resultat serà l'àrea de l'pentàgon.
El pentàgon també podria dividir-se en altres formes geomètriques, com per exemple, en un trapezi i un triangle, com la figura de la dreta.
El problema està en què la longitud de la base major i l'altura de l'trapezi no són fàcils de calcular. A més, s'ha de calcular l'altura de el triangle vermell.
Com calcular l'àrea d'un pentàgon?
El mètode general per calcular l'àrea d'un pentàgon és la triangulació, però el mètode pot ser directe o una mica més llarg depenent de si el pentàgon és regular o no.
Àrea d'un pentàgon regular
Abans de calcular l'àrea és necessari saber què és l'apotema.
El apotema d'un pentàgon regular (polígon regular) és la menor distància que hi ha des del centre de l'pentàgon (polígon) a el punt mitjà d'un costat de l'pentàgon (polígon).
En altres paraules, l'apotema és la longitud de l'segment de recta que va des del centre de l'pentàgon a el punt mitjà d'un costat.
Considerem un pentàgon regular tal que la longitud dels seus costats és «L». Per calcular la seva apotema primer es divideix l'angle central α entre la quantitat de costats, és a dir, α = 360º / 5 = 72º.
Ara, mitjançant les raons trigonomètriques es calcula la longitud d'l'apotema com es mostra en la següent imatge.
Per tant, l'apotema té una longitud de L / 2tan (36º) = L / 1,45.
A l'realitzar la triangulació de l'pentàgon s'obtindrà una figura com la de baix.
Els 5 triangles tenen la mateixa àrea (per ser un pentàgon regular). Per tant l'àrea de l'pentàgon és 5 vegades l'àrea d'un triangle. És a dir: àrea d'un pentàgon = 5 * (L * ap / 2).
Substituint el valor de l'apotema s'obté que l'àrea és A = 1,72 * l².
Per tant, per calcular l'àrea d'un pentàgon regular només cal conèixer la longitud d'un costat.
Àrea d'un pentàgon irregular
Es parteix d'un pentàgon irregular, tal que les longituds dels seus costats són L1, L2, L3, L4 i L5. En aquest cas, no es pot utilitzar l'apotema com es va usar abans.
Després de fer la triangulació s'obté una figura com la següent:
Ara es procedeix a dibuixar i calcular les altures d'aquests 5 triangles interiors.
Llavors, les àrees dels triangles interiors són T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 i T5 = L5 * h5 / 2.
Els valors corresponents a h1, h2, h3, h4 i h5 són les altures de cada triangle, respectivament.
Finalment l'àrea de l'pentàgon és la suma d'aquestes 5 àrees. És a dir, A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.
Com es pot apreciar, calcular l'àrea d'un pentàgon irregular és més complex que calcular l'àrea d'un pentàgon regular.
Determinant de Gauss
També hi ha un altre mètode mitjançant el qual es pot calcular l'àrea de qualsevol polígon irregular, conegut com a determinant de Gauss.
Aquest mètode consisteix a dibuixar el polígon en el pla cartesià, després es calculen les coordenades de cada vèrtex.
S'enumeren els vèrtexs en sentit antihorari i, finalment, es calculen certs determinants per finalment obtenir l'àrea de polígon en qüestió.
referències
- Alexander, DC, & Koeberlein, GM (2014). Elementary Geometry for College Students. Cengage Learning.
- Arthur Goodman, LH (1996). Àlgebra i trigonometria amb geometria analítica. Pearson Educació.
- Lofret, EH (2002). El llibre de les taules i les formules / The book of multiplication tables and formules. Imaginador.
- Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Matemàtiques pràctiques: aritmètica, àlgebra, geometria, trigonometria i regla de càlcul (reprint ed.). Reverte.
- Posamentier, AS, & Bannister, RL (2014). Geometry, Its Elements and Structure: Second Edition. Courier Corporation.
- Quintero, AH, & Costes, N. (1994). Geometria. L'Editorial, UPR.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometries. Editorial Tecnologica de CR.
- Torà, FB (2013). Matemàtiques. 1a unitat didàctica 1r ESO, Volume 1. Editorial Club Universitari.
- Víquez, M., Arias, R., & Araya, J. (sf). Matemàtiques (sisè Any). EUNED.