CÀLCUL D'APROXIMACIONS USANT LA DIFERENCIAL - MATEMÀTIQUES - 2026

Una aproximació en matemàtiques és un nombre que no és el valor exacte d'alguna cosa, però està tan a prop d'aquest que es considera tan útil com aquest valor exacte.

Quan en matemàtiques es realitzen aproximacions és perquè manualment resulta difícil (o en algunes ocasions impossible) conèixer el valor precís del que es vol.

L'eina principal quan es treballa amb aproximacions és la diferencial d'una funció.

La diferencial d'una funció f, denotada per Δf (x), no és més que la derivada de la funció f multiplicada pel canvi en la variable independent, és a dir, Δf (x) = f '(x) * Ax.

En ocasions s'utilitza df i dx en lloc de Δf i Ax.

Aproximacions usant la diferencial

La fórmula que s'aplica per fer una aproximació a través de la diferencial sorgeix justament a partir de la definició de la derivada d'una funció com un límit.

Aquesta fórmula ve donada per:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Ax.

Aquí s'entén que Ax = x-x0, per tant, x = x0 + Ax. Utilitzant això la fórmula pot reescriure com

f (x0 + Ax) ≈ f (x0) + f '(x0) * Ax.

Cal destacar que «x0» no és un valor arbitrari, sinó que és un valor tal que f (x0) és conegut fàcilment; a més, «f (x)» és just el valor que volem aproximar.

Hi ha millors aproximacions?

La resposta és si. L'anterior és la més senzilla de les aproximacions anomenada «aproximació lineal».

Per aproximacions de millor qualitat (l'error comès és menor) s'utilitzen polinomis amb més derivades anomenats «Polinomis de Taylor», així com també hi ha altres mètodes numèrics com el mètode de Newton-Raphson entre d'altres.

estratègia

L'estratègia a seguir és:

- Escollir una funció f adequada per a realitzar l'aproximació i el valor «x» tal que f (x) sigui el valor que es vol aproximar.

- La selecció de valors «x0», proper a «x», tal que la f (x0) sigui fàcil de calcular.

- Calcular Ax = x-x0.

- Calcular la derivada de la funció i f '(x0).

- Substituir en la fórmula les dades.

Exercicis d'aproximacions resolts

Pel que contínua hi ha una sèrie d'exercicis on es realitzen aproximacions utilitzant la diferencial.

primer exercici

Aproximi √3.

solució

Seguint l'estratègia s'ha d'escollir una funció adequada. En aquest cas es pot apreciar que la funció a escollir ha de ser f (x) = √xy el valor a apropar és f (3) = √3.

Ara s'ha d'escollir un valor «x 0» proper a «3» tal que f (x0) sigui fàcil de calcular. Si s'escull «x 0 = 2» se ha de «x0» és proper a «3» però f (x0) = f (2) = √2 no és fàcil de calcular.

El valor de «x0» que convé és «4», ja que «4» és proper a «3» ia més f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Si «x = 3» i «x 0 = 4", llavors Ax = 3-4 = -1. Ara es procedeix a calcular la derivada de f. És a dir, f '(x) = 1/2 * √x, de manera que f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Substituint tots els valors en la fórmula s'obté:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Si s'utilitza una calculadora s'obté que √3≈1.73205… Això mostra que el resultat anterior és una bona aproximació de la valor real.

segon exercici

Aproximi √10.

solució

A l'igual que abans s'escull com a funció f (x) = √xy en aquest cas x = 10.

El valor de x0 que s'ha de triar en aquesta oportunitat és «x 0 = 9». Es té llavors que Ax = 10-9 = 1, f (9) = 3 i f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

A l'avaluar en la fórmula s'obté que

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666…

Utilitzant una calculadora s'obté que √10 ≈ 3.1622776… Aquí també es pot apreciar que abans es va obtenir una bona aproximació.

tercer exercici

Aproximi ³√10, on ³√ denota l'arrel cúbica.

solució

Clarament la funció que s'ha d'utilitzar en aquest exercici és f (x) = ³√xy el valor «x» ha de ser «10».

Un valor proper a «10» tal que la seva arrel cúbica és coneguda és «x0 = 8». Llavors s'ha de Ax = 10-8 = 2 if (x0) = f (8) = 2. També s'ha de f '(x) = 1/3 * ³√x², i en conseqüència f' (8) = '1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Substituint les dades a la fórmula s'obté que:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….

La calculadora diu que ³√10 ≈ 2.15443469… Per tant, l'aproximació trobada és bona.

quart exercici

S'aproximi ln (1.3), on «ln» denota la funció logaritme natural.

solució

Primer s'escull com a funció f (x) = ln (x) i el valor de «x» és 1.3. Ara, coneixent una mica sobre la funció logaritme es pot saber que ln (1) = 0, ia més «1» és proper a «1.3». Per tant, s'escull «x 0 = 1» i així Ax = 1.3 - 1 = 0.3.

D'altra banda f '(x) = 1 / x, de manera que f' (1) = 1. A l'avaluar en la fórmula donada s'ha de:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

A l'utilitzar una calculadora s'ha de ln (1.3) ≈ 0,262364… De manera que l'aproximació feta és bona.

referències

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus mathematics: a problem-solving approach (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Àlgebra i trigonometria amb geometria analítica. Pearson Educació.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Geometria Analítica Plana. Mèrida - Veneçuela: Editorial Veneçolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precàlcul. Pearson Educació.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, ES (2007). Càlcul (Novena ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Càlcul Diferencial amb funcions transcendents primerenques per a Ciències i Enginyeria (Segona Edició ed.). Hipotenusa.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (reprint ed.). Lightning Source.
10. Sullivan, M. (1997). Precàlcul. Pearson Educació.