BINOMI CONJUGAT: COM ES RESOL, EXEMPLES, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2025

Un binomi conjugat d'un altre binomi és aquell en què només es diferencien per un signe de l'operació. El binomi, tal com el seu nom indica, és una estructura algebraica que consta de dos termes.

Alguns exemples de binomis són: (a + b), (3m - n) i (5x - i). I els seus respectius binomis conjugats són: (a - b), (-3m - n) i (5x + i). Com s'aprecia immediatament, la diferència està en el signe.

Figura 1. Un binomi i el seu binomi conjugat. Tenen els mateixos termes, però difereixen en el signe. Font: F. Zapata.

Un binomi multiplicat per la seva conjugat dóna com a resultat un producte notable que s'utilitza moltíssim en àlgebra i ciència. El resultat de la multiplicació és la resta dels quadrats dels termes de l'binomi original.

Per exemple, (x - y) és un binomi i el seu conjugat és (x + i). Llavors, el producte dels dos binomis és la diferència dels quadrats dels termes:

(x - i). (x + i) = x ² - i ²

Com es resol un binomi conjugat?

La regla enunciada dels binomis conjugats és la següent:

A tall d'exemple d'aplicació, començarem per demostrar el resultat anterior, cosa que pot realitzar-se usant la propietat distributiva del producte respecte de la suma algebraica.

(Xi) (x + i) = xx + xy - yx - ii

La multiplicació anterior es va obtenir seguint aquests passos:

- Es multiplica el primer terme del primer binomi pel primer terme de l'segon

- Després el primer de el primer, pel segon de l'segon

- Seguidament el segon de el primer pel primer de la segona

- Finalment el segon de el primer pel segon de l'segon.

Ara fem un petit canvi usant la propietat commutativa: ix = xi. Queda així:

(Xi) (x + i) = xx + xy - xi - yi

Com que hi ha dos termes iguals però de signe contrari (ressaltats en color i subratllats), es cancel·len i es simplifica:

(X - i) (x + i) = xx - ii

Finalment s'aplica de multiplicar un nombre per si mateix, equival a elevar-lo a l'quadrat, de manera que xx = x ² i també ii = i ².

D'aquesta manera queda demostrat el que s'havia assenyalat en la secció precedent, que el producte d'una suma per la seva diferència, és la diferència dels quadrats:

(x - i). (x + i) = x ² - i ²

Figura 2. Una suma per la seva diferència és una diferència de quadrats. Font: F. Zapata.

exemples

- Binomis conjugats de diverses expressions

exemple 1

Trobi el conjugat de (i ² - 3y).

Resposta: (i ² + 3y)

exemple 2

Obtingui el producte de (i ² - 3y) per la seva conjugat.

Resposta: (i ² - 3y) (i ² + 3i) = (i ²) ² - (3y) ² = i ⁴ - 3 ² i ² = i ⁴ - 9y ²

exemple 3

Desenvolupi el producte (1 + 2a). (2a -1).

Resposta: l'expressió anterior és equivalent a (2a + 1). (2a -1), és a dir correspon a l'producte d'un binomi per la seva conjugat.

Se sap que el producte d'un binomi per la seva binomi conjugat és igual a la diferència dels quadrats dels termes de l'binomi:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

exemple 4

Escrigui el producte (x + y + z) (x - i - z) com una diferència de quadrats.

Resposta: podem assimilar els trinomis anteriors a la forma de binomis conjugats, fent ús acurat dels parèntesis i claudàtors:

(X + y + z) (x - i - z) =

D'aquesta manera es pot aplicar la diferència de quadrats:

(x + y + z) (x - i - z) =. = X ² - (i + z) ²

exemple 5

Expressi el producte (m ² - m-1). (M ² + m-1) com una diferència de quadrats.

Resposta: l'expressió anterior és el producte de dos trinomis. En primer lloc ha reescriure com el producte de dos binomis conjugats:

(m ² - m -1) (m ² + m-1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Apliquem el fet que el producte d'un binomi per la seva conjugat és la diferència quadràtica dels seus termes, tal com s'ha explicat:

. = (M ² -1) ² - m ²

exercicis

Com sempre, es comença pels exercicis més senzills i després es va elevant el nivell de complexitat.

- Exercici 1

Escrigui (9 - a ²) com un producte.

solució

En primer lloc, reescrivim l'expressió com una diferència de quadrats, amb la finalitat d'aplicar el que s'ha explicat prèviament. Per tant:

(9 - a ²) = (3 ² - a ²)

De seguida factoritzem, la qual cosa equival a escriure aquesta diferència de quadrats com un producte, tal com es demana en l'enunciat:

(9 - a ²) = (3 ² - a ²) = (3 + a) (3 -a)

- Exercici 2

Factorize 16x ² - 9y ⁴.

solució

Factoritzar una expressió vol dir escriure-la com un producte. En aquest cas, cal reescriure prèviament l'expressió, per obtenir una diferència de quadrats.

No és difícil fer-ho, ja que observant amb cura, tots els factors són quadrats perfectes. Per exemple 16 és el quadrat de 4, 9 és el quadrat de 3, i ⁴ és el quadrat de i ² i x ² és el quadrat de x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² i ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (i ²) ^febrer

Després s'aplica el que ja sabem prèviament: que una diferència de quadrats és el producte de binomis conjugats:

(4x) ² - (3 i ²) ² = (4x - 3 i ²). (4x + 3 i ²)

- Exercici 3

Escrigui (a - b) com a producte de binomis

solució

La diferència anterior s'ha d'escriure com a diferències de quadrats

(√a) ² - (√b) ²

Després s'aplica que la diferència de quadrats és el producte dels binomis conjugats

(√a - √b) (√a + √b)

- Exercici 4

Un dels usos de l'binomi conjugat és la racionalització d'expressions algebraiques. Aquest procediment consisteix a eliminar les arrels de l'denominador d'una expressió fraccionària, que en nombroses ocasions facilita les operacions. Es demana utilitzar el binomi conjugat per racionalitzar la següent expressió:

√ (2-x) /

solució

El primer és identificar el binomi conjugat de l'denominador:.

Ara multipliquem numerador i denominador de l'expressió original pel binomi conjugat:

√ (2-x) / {.}

En el denominador de l'expressió anterior reconeixem el producte d'una diferència per una suma, que ja sabem que correspon a la diferència dels quadrats dels binomis:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Simplificant el denominador queda:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Ara ens ocupem de l'numerador, per a això aplicarem la propietat distributiva del producte respecte de la suma:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

En l'expressió anterior reconeixem el producte de l'binomi (2-x) per la seva conjugat, el qual és el producte notable igual a la diferència de quadrats. D'aquesta manera s'obté finalment una expressió racionalitzada i simplificada:

/ (1 - x)

- Exercici 5

Desenvolupeu el producte, usant les propietats de l'binomi conjugat:

solució

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x).a ⁽⁶ⁱ⁾ - 9a ^(2x).a ^(-6y) =.a ^(2x)

El lector atent s'haurà adonat de l'factor comú que s'ha ressaltat en color.

referències

1. Baldor, A. 1991. Àlgebra. Editorial Cultural Veneçolana SA
2. González J. Exercicis de binomis conjugats. Recuperat de: academia.edu.
3. Matemàtiques profe Alex. Productes Notables. Recuperat de youtube.com.
4. Math2me. Binomis conjugats / productes notables. Recuperat de youtube.com.
5. Productes de binomis conjugats. Recuperat de: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Binomis conjugats. Recuperat de: youtube.com.