- L'arc i la seva mesura
- Tipus d'arcs
- arc circular
- arc parabòlic
- arc catenari
- arc el·líptic
- Exemples d'arcs
- exemple 1
- exemple 2
- referències
El arc, en geometria, és tota línia corba que connecta dos punts. Una línia corba, a diferència d'una línia recta, és aquella la direcció és diferent en cada punt de la mateixa. El contrari d'un arc és un segment, ja que aquest és un tram recte que uneix dos punts.
L'arc que més freqüentment es fa servir en geometria és l'arc de circumferència. Altres arcs d'ús comú són l'arc parabòlic, arc el·líptic i l'arc catenari. La forma d'arc també s'utilitza freqüentment en arquitectura com a element decoratiu i element estructural. És el cas de les llindes de les portes i finestres, així com dels ponts i aqüeductes.
Figura 1. L'arc de Sant Martí és una línia corba que uneix dos punts de l'horitzó. Font: Pixabay
L'arc i la seva mesura
La mesura d'un arc és la seva longitud, la qual depèn de l'tipus de corba que connecta els dos punts i de la ubicació dels mateixos.
La longitud d'un arc circular és una de les més senzilles de calcular, a causa que es coneix la longitud d'l'arc complet o perímetre d'una circumferència.
El perímetre d'una circumferència és dues pi vegades el seu radi: p = 2 π R. Sabent això, si es vol calcular la longitud s d'un arc circular d'angle α (mesurat en radians) i radi R, s'aplica una proporció:
(S / p) = (α / 2 π)
Després, aclarint s de l'expressió anterior i substituint el perímetre p per la seva expressió en funció de el radi R, es té:
s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.
És a dir, que la mesura d'un arc circular és el producte de la seva obertura angular pel radi de l'arc circular.
Per a un arc de manera general el problema és més complicat, a al punt que els grans pensadors de l'antiguitat afirmaven que era una tasca impossible.
No va ser fins l'adveniment de el càlcul diferencial i integral en 1665, que el problema de la mesura d'un arc qualsevol es va resoldre satisfactòriament.
Abans de la invenció de el càlcul diferencial només es podien trobar solucions mitjançant l'ús de línia poligonals o arcs de circumferència que s'aproximaven a l'arc veritable, però aquestes solucions no eren exactes.
Tipus d'arcs
Des del punt de vista de la geometria, els arcs es classifiquen segons la línia corba que uneix dos punts de el pla. Hi ha altres classificacions d'acord al seu ús i forma arquitectònica.
arc circular
Quan la línia que connecta dos punts de el pla és un tros de circumferència de cert ràdio, es té un arc circular. La figura 2 mostra un arc circular c de radi R que connecta els punts A i B.
Figura 2. Arc circular de radi R que connecta els punt A i B. Elaborat per Ricardo Pérez.
arc parabòlic
La paràbola és la trajectòria que segueix un objecte que s'ha llançat a l'aire en forma obliqua. Quan la corba que uneix dos punts és una paràbola, llavors es té un arc parabòlic com el mostrat a la figura 3.
Figura 3. Arc parabòlic que connecta els punts A i B. Elaborat per Ricardo Pérez.
Aquesta és la forma que adopta el raig d'aigua que surt d'una mànega que s'apunta cap amunt. L'arc parabòlic pot ser observat en la fonts d'aigua.
Figura 4. Arc parabòlic format per aigua d'una font a Dresden. Font: Pixabay.
arc catenari
L'arc catenari és un altre arc natural. La catenària és la corba que es forma naturalment quan una cadena o una corda penja folgadament des de dos punts separats.
Figura 5. Arc catenari i comparació amb l'arc parabòlic. Elaborat per Ricardo Pérez.
La catenària és similar a la paràbola, però no és exactament igual com pot notar-se en la figura 4.
L'arc en forma de catenària invertida s'usa en arquitectura com un element estructural d'alta resistència a la compressió. De fet, es pot demostrar que és el tipus d'arc més resistent entre totes les formes possibles.
Per construir un sòlid arc catenari, només es copia la forma d'una corda o cadena penjant, després la forma copiada es volteja per reproduir-la en la llinda de la porta o la finestra.
arc el·líptic
Un arc és el·líptic si la corba que connecta dos punts és un tros o tram d'el·lipse. L'el·lipse es defineix com el lloc geomètric dels punts la distància a dos punts donats suma sempre una quantitat constant.
L'el·lipse és una corba que apareix a la natura: és la corba de la trajectòria dels planetes al voltant de el Sol, tal com ho va demostrar Johannes Kepler l'any 1609.
A la pràctica una el·lipse pot dibuixar-se fixant dos puntals a terra o dues agulles en un paper i lligant una corda a estos. Després es tensa la corda amb el marcador o llapis i es traça la corba. Un tros d'el·lipse és un arc el·líptic. La següent animació il·lustra com es traça l'el·lipse:
Figura 5. Traçat d'una el·lipse mitjançant una corda tensa. Font: Wikimedia Commons
La figura 6 mostra un arc el·líptic que connecta els punts G i H.
Figura 6. Arc el·líptic que connecta dos punts. Elaborat per Ricardo Pérez.
Exemples d'arcs
Els següent exemples es refereixen a com calcular el perímetre d'alguns arcs específics.
exemple 1
La figura 7 mostra una finestra acabada en arc circular retallat. Les dimensions mostrades a la figura estan en peus. Calculi la longitud d'l'arc.
Figura 7. Càlcul de la longitud d'l'arc circular d'una finestra. (Anotacions pròpies - imatge de finestra en Pixabay)
Per aconseguir el centre i el radi de l'arc circular de la llinda de la finestra es fan les següents construccions sobre la imatge:
-Es traça el segment KL i es traça la seva mediatriu.
-Després se situa el punt més alt de la llinda, el qual anomenem M. Seguidament es considera el segment KM i es traça la seva mediatriu.
La intercepció de les dues mediatrius és el punt N i també és el centre de l'arc circular.
-Ara cal mesurar la longitud de l'segment NM, la qual coincideix amb el radi R de l'arc circular: R = 2.8 peus.
-Per saber la longitud d'l'arc a més de el radi es necessita conèixer l'angle que forma l'arc. El qual pot determinar-se per dos mètodes, o bé es mesura amb un transportador, o alternativament es calcula utilitzant trigonometria.
En el cas mostrat l'angle que forma l'arc és 91,13º, el qual s'ha de convertir a radiants:
91,13º = 91,13º * π / 180 º = 1,59 radiants
Finalment calculem la longitud es de l'arc mitjançant la fórmula s = α R.
s = 1,59 * 2.8 peus = 4,45 peus
exemple 2
Trobar la longitud d'l'arc el·líptic mostrat a la figura 8, coneguts el semieix major ri el semieix menor s de l'el·lipse.
Figura 8. Arc el·líptic comprès entre GH. Elaborat per Ricardo Pérez.
Trobar la longitud d'una el·lipse va ser per molt temps un dels problemes més difícils de les matemàtiques. Es poden aconseguir solucions expressades mitjançant integrals el·líptiques però per tenir un valor numèric cal expandir aquestes integrals en sèries de potència. Un resultat exacte requeriria d'infinits termes d'aquestes sèries.
Per fortuna, el geni matemàtic d'origen hindú Ramanujan, qui va viure entre 1887 i 1920, va trobar una fórmula que s'aproxima molt precisament el perímetre d'una el·lipse:
El perímetre d'una el·lipse amb r = 3 cm i s = 2.24 cm és 16,55 cm. No obstant això, l'arc el·líptic mostrat té la meitat d'aquest valor:
Longitud de l'arc el·líptic GH = 8.28 cm.
referències
- Clemens S. 2008. Geometria i Trigonometria. Pearson Education.
- García F. Procediments numèrics en Java. Longitud d'una el·lipse. Recuperat de: sc.ehu.es
- Geometria dinàmica. Arcs. Recuperat de geometriadinamica.es
- Piziadas. El·lipses i paràboles al nostre voltant. Recuperat de: piziadas.com
- Wikipedia. Arc (geometria). Recobrat de: es.wikipedia.com