APROXIMACIÓ PER DEFECTE I PER EXCÉS: QUÈ ÉS I EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2025

La aproximació per defecte i per excés, és un mètode numèric usat per establir el valor d'un nombre segons diferents escales d'exactitud. Per exemple el nombre 235,623, s'aproxima per defecte a 235,6 i per excés a 235,7. Si considerem a les dècimes com a cota d'error.

Aproximar consisteix a reemplaçar una xifra exacta de l'altra, on aquest reemplaçament ha de facilitar operacions d'algun problema matemàtic, conservant l'estructura i essència de el problema.

Font: Pexels.

A ≈B

Es llegeix; A aproximat de B. On "A" representa el valor exacte i "B" a la valor aproximat.

xifres significatives

Es coneixen com xifres significatives els valors amb els quals es defineix un nombre aproximat. En l'aproximació de l'exemple es van prendre quatre xifres significatives. La precisió d'un nombre està donada per la quantitat de xifres significatives que el defineixen.

No es consideren xifres significatives als infinits zeros que poden situar-tant a la dreta com a l'esquerra el nombre. La ubicació de la coma no juga cap paper en la definició de xifres significatives d'un nombre.

750.385

…. 00,0075038500….

75,038500000…..

750.385.000…..

….. 000007503850000…..

En què consisteixen?

El mètode és bastant simple; s'escull la cota d'error, que no és altra cosa que el rang numèric on es vol fer el tall. El valor d'aquest rang és directament proporcional a l'marge d'error de l'nombre aproximat.

En l'exemple anterior 235,623 posseeix mil·lèsimes (623). Després s'ha realitzat l'aproximació cap a les dècimes. El valor per excés (235,7) correspon a el valor en dècimes més significatiu que es troba immediatament després de l'nombre original.

D'altra banda el valor per defecte (235,6) correspon a el valor en dècimes més proper i significatiu que es troba abans de l'nombre original.

L'aproximació numèrica és bastant corrent en la pràctica amb nombres. Altres mètodes bastant usats són el arrodoniment i truncament; els quals responen a diferents criteris per assignar els valors.

El marge d'error

A l'hora de definir el rang numèric que abastarà el nombre després de ser aproximat, també definim la cota d'error que acompanya la xifra. Aquesta es denotara amb un nombre racional existent o significant en el rang assignat.

En l'exemple inicial els valors definits per excés (235,7) i per defecte (235,6) posseeixen un error aproximat de 0,1. En els estudis estadístics i de probabilitat es manegen 2 tipus d'errors pel que fa a la valor numèric; error absolut i error relatiu.

Escales

Els criteris per a establir els rangs d'aproximació poden ser molt variables i estan estretament relacionats amb les especificacions de l'element a aproximar. Als països amb alta inflació, les aproximacions per excés obvien alguns rangs numèrics, pel fet que aquests són menors a l'escala inflacionista.

D'aquesta manera, en una inflació major a el 100% un venedor no ajustar un producte de 50 $ a 55 $ sinó que el s'aproximarà a 100 $, obviant així les unitats i desenes a l'aproximar directament a la centena.

Ús de la calculadora

Les calculadores convencionals porten amb si la manera FIX, on l'usuari pot configurar el nombre de decimals que vol rebre en els seus resultats. Això genera errors que s'han de considerar a l'hora de càlculs exactes.

Aproximació de nombres irracionals

Alguns valors molt usats en les operacions numèriques pertanyen a el conjunt dels nombres irracionals, que destaca per posseir una quantitat indeterminada de xifres decimals.

font: Pexels.

Valors com:

• π = 3,141592654….
• i = 2,718281828…
• √2 = 1,414213562…

Són comuns en les experimentacions i els seus valors han de ser definits en un rang determinat, tenint en compte els errors possibles generats.

Per a què serveixen?

Per al cas de la divisió (1 ÷ 3) s'observa mitjançant l'experimentació, la necessitat d'establir un tall a la quantitat d'operacions realitzades per definir el nombre.

1 ÷ 3 = 0,333333……

1 ÷ 3 3/10 = 0,3

1 ÷ 3 33/100 = 0,33

1 ÷ 3 333/1000 = 0,333

1 ÷ 3 3333/10000 = 0,3333

1 ÷ 3 333333….. / 10000….. = 0,333333…..

Es presenta una operació que pot perpetuar-se de manera indefinida pel que es fa necessari aproximar en algun punt.

Per al cas de:

1 ÷ 3 333333….. / 10000….. = 0,333333…..

S'ha de per a qualsevol punt establert com a marge d'error, s'obtindrà un nombre menor a el valor exacte de (1 ÷ 3). D'aquesta manera totes les aproximacions realitzades anteriorment, són aproximacions per defecte de (1 ÷ 3).

exemples

exemple 1

1. Quin dels següents nombres és una aproximació per defecte de 0,0127

• 0,13
• 0,012; És una aproximació per defecte de 0,0127
• 0,01; És una aproximació per defecte de 0,0127
• 0,0128

exemple 2

1. Quin dels següents nombres és una aproximació per excés de 23,435

• 24; és una aproximació per excés de 23,435
• 23,4
• 23,44; és una aproximació per excés de 23,435
• 23,5; és una aproximació per excés de 23,435

exemple 3

1. Definiu els següents números mitjançant una aproximació per defecte, amb la cota d'error indicada.

• 547,2648…. Per a les mil·lèsimes, centèsimes i desenes.

Mil·lèsimes: Les mil·lèsimes corresponen a les primeres 3 xifres després de la coma, on després de, 999 ve la unitat. Es procedeix a apropar a 547,264.

Centèsimes: denotades per les primeres 2 xifres després de la coma, els centèsims han de reunir, 99 per a aconseguir la unitat. D'aquesta manera s'aproxima per defecte a 547,26.

Desenes: En aquest cas la cota d'error és molt més gran, pel fet que el rang de l'aproximació està definit dins dels nombres enters. A l'aproximar per defecte en la desena s'obté 540.

exemple 4

1. Definiu els següents números mitjançant una aproximació per excés, amb la cota d'error indicada.

• 1204,27317 Per a les dècimes, centenes i unitats.

Desenes: Es refereix a la primera dígit després de la coma, on la unitat es compon després de 0,9. Aproximant per excés a les dècimes s'obté 1.204,3.

Centenes: De nou s'observa una cota d'error el rang està dins dels nombres sencers de la xifra. A l'aproximar per excés les centenes s'obté 1300. Aquesta xifra s'allunya de manera considerable a 1.204,27317. A causa d'això les aproximacions no solen aplicar-se a valors sencers.

Unitats: A l'aproximar per excés a la unitat s'obté 1205.

exemple 5

1. Una costurera talla un tram de tela de 135,3 cm de llarg per fer una bandera de 7855 cm ². Com mesurarà l'altre costat si utilitza una regla convencional que marca fins als mil·límetres.

Aproximar els resultats per excés i defecte.

L'àrea de la bandera és rectangular i es defineix per:

A = costat x costat

costat = A / costat

costat = 7855cm ² / 135,3cm

costat = 58,05617147 cm

A causa de l'apreciació de la regla podem obtenir dades fins als mil·límetres, dels quals correspon a la franja dels decimals que fa a l'centímetre.

D'aquesta manera 58cm és una aproximació per defecte.

Mentre que 58,1 és una aproximació per excés.

exemple 6

1. Definir setembre valors que puguin ser nombres exactes en cadascuna de les aproximacions:

• 34,071 resulta d'aproximar mil·lèsimes per defecte

34,07124 34,07108 34,07199

34,0719 34,07157 34,07135

34,0712 34,071001 34,07176

• 0,012 resulta d'aproximar mil·lèsimes per defecte

0,01291 0,012099 0,01202

0,01233 0,01223 0,01255

0,01201 0,0121457 0,01297

• 23,9 resulta d'aproximar dècimes per excés

23,801 23,85555 23,81

23,89 23,8324 23,82

23,833 23,84 23,80004

• 58,37 resulta d'aproximar centèsimes per excés

58,3605 58,36001 58,36065

58,3655 58,362 58,363

58,3623 58,361 58,3634

exemple 7

1. Aproximar cada nombre irracional segons la cota d'error indicada:

• π = 3,141592654….

Mil·lèsimes per defecte π = 3,141

Mil·lèsimes per excés π = 3,142

Centèsimes per defecte π = 3,14

Centèsimes per excés π = 3,15

Dècimes per defecte π = 3,1

Dècimes per excés π = 3,2

• i = 2,718281828…

Mil·lèsimes per defecte i = 2,718

Mil·lèsimes per excés i = 2,719

Centèsimes per defecte i = 2,71

Centèsimes per excés i = 2,72

Dècimes per defecte i = 2,7

Dècimes per excés i = 2,8

• √2 = 1,414213562…

Mil·lèsimes per defecte √2 = 1,414

Mil·lèsimes per excés √2 = 1,415

Centèsimes per defecte √2 = 1,41

Centèsimes per excés √2 = 1,42

Dècimes per defecte √2 = 1,4

Dècimes per excés √2 = 1,5

• 1 ÷ 3 = 0,3333333…..

Mil·lèsimes per defecte 1 ÷ 3 = 0,332

Mil·lèsimes per excés gener ÷ 3 = 0,334

Centèsimes per defecte 1 ÷ 3 = 0,33

Centèsimes per excés gener ÷ 3 = 0,34

Dècimes per defecte 1 ÷ 3 = 0,3

Dècimes per excés gener ÷ 3 = 0,4

referències

1. Problems in Mathematical Analysis. Piotr Biler, Alfred Witkowski. University of Wroclaw. Poland.
2. Introduction to Logic and to the Methodology of the Deductive Sciences. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University press.
3. The Arithmetic Teacher, Volum 29. National Council of Teachers of Mathematics, 1981. Universitat de Michigan.
4. Learning and teaching number theory: Research in cognition and instruction / edited by Stephen R. Campbell and Rina Zazkis. Ablex publishing 88 Post Road West, Westport CT 06881.
5. Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Rouen: IREM.