ANTIDERIVADA: FÓRMULES I EQUACIONS, EXEMPLES, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

Una antiderivada F (x) d'una funció f (x) és també anomenada primitiva o simplement la integral indefinida d'aquesta funció, si en un interval donat I, es compleix que F '(x) = f (x)

Per exemple prenguem la següent funció:

f (x) = 4x ³

Una antiderivada d'aquesta funció és F (x) = x ⁴, ja que a l'derivar F (x) mitjançant la regla de derivació per les potències:

S'obté precisament f (x) = 4x ³.

No obstant això, aquesta és només una de les moltes antiderivades de f (x), ja que aquesta altra funció: G (x) = x ⁴ + 2 també ho és, perquè a l'derivar G (x) respecte a x, igual s'obté de tornada f (x).

Anem a comprovar-ho:

Cal recordar que la derivada d'una constant és 0. Per tant a terme x ⁴ se li pot afegir una constant qualsevol i la seva derivada seguirà sent 4x ³.

Es conclou que qualsevol funció de la forma general F (x) = x ⁴ + C, on C és una constant real, serveix com antiderivada de f (x).

L'exemple il·lustratiu anterior es pot expressar així:

dF (x) = 4x ³ dx

La antiderivada o integral indefinida s'expressa amb el símbol ∫, per tant:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

On la funció f (x) = 4x ³ s'anomena integrant, i C és la constant d'integració.

Exemples d'antiderivades

Figura 1. La antiderivada no és més que una integral indefinida. Font: Pixabay.

Trobar una antiderivada d'una funció és senzill en alguns casos en què les derivades es coneixen bé. Per exemple, sigui la funció f (x) = sin x, un antiderivada per a ella és una altra funció F (x), tal que a l'derivar-la s'obtingui f (x).

Aquesta funció pot ser:

F (x) = - cos x

Comprovem que és cert:

F '(x) = (- cos x)' = - (-sen x) = sin x

Per tant podem escriure:

∫sen x dx = -cos x + C

A més de conèixer les derivades, hi ha unes regles bàsiques i senzilles d'integració per trobar la antiderivada o integral indefinida.

Sigui k una constant real, llavors:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Si una funció h (x) es pot expressar com la suma o resta de dues funcions, llavors la seva integral indefinida és:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Aquesta és la propietat de la linealitat.

La regla de les potències per a les integrals es pot establir d'aquesta manera:

Per al cas de n = -1 es fa servir la següent regla:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

És fàcil demostrar que la derivada de ln x és precisament x ^-1.

equacions diferencials

Una equació diferencial és aquella en la qual la incògnita es troba com una derivada.

Ara bé, de l'anàlisi anterior, és fàcil adonar-se que l'operació inversa a la derivada és la antiderivada o integral indefinida.

Sigui f (x) = y'(x), és a dir, la derivada d'una certa funció. Podem utilitzar la notació següent per indicar aquesta derivada:

Immediatament se segueix que:

La incògnita de l'equació diferencial és la funció y (x), aquella la derivada és f (x). Per aclarir-s'integra en ambdós costats l'expressió anterior, la qual cosa equival a aplicar la antiderivada:

La integral esquerra es resol mitjançant la regla d'integració 1, amb k = 1 i així es buida la incògnita cercada:

I com C és una constant real, per conèixer quin és l'apropiada en cada cas, l'enunciat ha de contenir informació addicional suficient per calcular el valor de C. A això se li denomina condició inicial.

Veurem exemples d'aplicació de tot això en la següent secció.

Exercicis de antiderivades

- Exercici 1

Aplicar les regles d'integració per obtenir les següents antiderivades o integrals indefinides de les funcions donades, simplificant els resultats tant com sigui possible. És convenient verificar el resultat per derivació.

Figura 2. Exercicis de antiderivades o integrals definides. Font: Pixabay.

solució a

Apliquem primer la regla 3, ja que l'integrant és la suma de dos termes:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Per a la primera integral s'aplica la regla de les potències:

∫ xdx = (x ² /2) EXEMPLAR + C ₁

A la segona integral s'aplica la regla 1, sent k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

I ara se sumen els resultats. Les dues constants s'agrupen en una sola, anomenada genèricament C:

∫ (x + 7) dx = (x ² /2) EXEMPLAR + 7x + C

solució b

Per linealitat aquesta integral es descompon en tres integrals més senzilles, a les quals se'ls aplicarà la regla de les potències:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Cal notar que per cada integral apareix una constant d'integració, però es reuneixen en una sola trucada C.

solució c

En aquest cas convé aplicar la propietat distributiva de la multiplicació per desenvolupar l'integrant. Després es fa ús de la regla de les potències per trobar cada integral per separat, com en l'exercici anterior.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

El lector atent observarà que els dos termes centrals són semblants, per tant es redueixen abans d'integrar:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

solució i

Una manera de resoldre la integral seria desenvolupar la potència, com es va fer en l'exemple d. No obstant això, com l'exponent és més elevat, convindria fer un canvi de variable, per no haver de fer un desenvolupament tan llarg.

El canvi de variable és el següent:

u = x + 7

Derivant a banda i banda aquesta expressió:

du = dx

La integral es transforma a una altra més senzilla amb la nova variable, que es resol amb la regla de les potències:

∫ (x + 7) ^maig dx = ∫ o ⁵ du = (1/6) o ⁶ + C

Finalment es torna el canvi per tornar a la variable original:

∫ (x + 7) ^maig dx = (1/6) (x + 7) ^juny + C

- Exercici 2

Una partícula està inicialment en repòs i es mou al llarg de l'eix x. La seva acceleració per at> 0 està donada per la funció a (t) = cos t. Se sap que en t = 0, la posició és x = 3, tot en unitats de el Sistema Internacional. Es demana trobar la velocitat v (t) i la posició x (t) de la partícula.

solució

Ja que l'acceleració és la primera derivada de la velocitat respecte a el temps, es té la següent equació diferencial:

a (t) = v '(t) = cos t

Se segueix que:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

D'altra banda, sabem que la velocitat és al seu torn la derivada de la posició, per tant tornem a integrar:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Les constants d'integració es determinen a partir de la informació donada a l'enunciat. En primer lloc diu que la partícula estava inicialment en repòs, per tant v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Després s'ha de x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Les funcions velocitat i posició queden definitivament així:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

referències

1. Engler, A. 2019. Càlcul Integral. Universitat Nacional d'el Litoral.
2. Larson, R. 2010. Càlcul d'una variable. 9na. Edició. McGraw Hill.
3. Mathematics Lliure Texts. Antiderivatives. Recuperat de: math.liibretexts.org.
4. Wikipedia. Antiderivative. Recuperat de: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Integració indefinida. Recuperat de: es.wikipedia.org.