- història
- Antecedents de la geometria analítica
- segle XVI
- Fundació de la geometria analítica
- influència
- Geometria analítica de tres i més dimensions
- referències
Els antecedents històrics de la geometria analítica es remunten a el segle XVII, quan Pierre de Fermat i René Descartes van definir la seva idea fonamental. La seva invenció seguia la modernització de l'àlgebra i de la notació algebraica de François Viète.
Aquest camp té les seves bases en l'Antiga Grècia, especialment en els treballs d'Apolonio i Euclides, que van tenir una gran influència en aquesta àrea de les matemàtiques.
La idea essencial darrere de la geometria analítica és que una relació entre dues variables, de manera que una és una funció de l'altra, defineix una corba.
Aquesta idea va ser desenvolupada per primera vegada per Pierre de Fermat. Gràcies a aquest marc essencial, Isaac Newton i Gottfried Leibniz van poder desenvolupar el càlcul.
El filòsof francès Descartes també va descobrir un acostament algebraic a la geometria, aparentment pel seu compte. El treball de Descartes sobre la geometria apareix en el seu famós llibre Discurs de mètode.
En aquest llibre s'assenyala que el compàs i les construccions geomètriques de vores rectes involucren la suma, la resta, la multiplicació i les arrels quadrades.
La geometria analítica representa la unió de dues importants tradicions en les matemàtiques: la geometria com l'estudi de la forma, i l'aritmètica i àlgebra, que tenen a veure amb la quantitat o els nombres. Per tant, la geometria analítica és l'estudi de camp de la geometria utilitzant sistemes de coordenades.
història
Antecedents de la geometria analítica
La relació entre la geometria i l'àlgebra ha evolucionat al llarg de la història de les matemàtiques, tot i que la geometria va aconseguir un grau de maduresa més d'hora.
Per exemple, el matemàtic grec Euclides va ser capaç d'organitzar molts resultats en el seu llibre clàssic Els elements.
Però va ser l'antic grec Apol·loni de Perga qui va pronosticar el desenvolupament de la geometria analítica en el seu llibre Còniques. Ell va definir una cònica com la intersecció entre un con i un pla.
Utilitzant els resultats d'Euclides en triangles similars i assecants de cercles, va trobar una relació donada per les distàncies de qualsevol punt «P» d'una cònica a dues línies perpendiculars, l'eix major d'una cònica i la tangent en un punt final de l'eix. Apol·loni va utilitzar aquesta relació per deduir propietats fonamentals de les còniques.
El desenvolupament subsecuente de sistemes de coordenades en matemàtiques va emergir només després que l'àlgebra havia madurat gràcies als matemàtics islàmics i indis.
Fins al Renaixement la geometria era utilitzada per a justificar les solucions per a problemes algebraics, però no existia molt que l'àlgebra pogués aportar a la geometria.
Aquesta situació canviaria amb l'adopció d'una notació convenient per a les relacions algebraiques i el desenvolupament de el concepte d'una funció matemàtica, que ara era possible.
segle XVI
A la fi de segle XVI el matemàtic francès François Viète va introduir la primera notació algebraica sistemàtica, utilitzant lletres per representar quantitats numèriques, tant conegudes com desconegudes.
També va desenvolupar poderosos mètodes generals per treballar expressions algebraiques i resoldre equacions algebraiques.
Gràcies a això, els matemàtics no eren completament dependents de les figures geomètriques i de la intuïció geomètrica per a resoldre problemes.
Fins i tot alguns matemàtics van començar a abandonar la manera geomètrica estàndard de pensar, segons la qual les variables lineals de longituds i quadrats corresponen a àrees, mentre que els cúbics corresponen als volums.
Els primers a prendre aquest pas van ser el filòsof i matemàtic René Descartes, i l'advocat i matemàtic Pierre de Fermat.
Fundació de la geometria analítica
Descartes i Fermat van fundar independentment la geometria analítica durant la dècada de 1630, a l'adoptar l'àlgebra de Viète per a l'estudi de el lloc geomètric.
Aquests matemàtics es van adonar que l'àlgebra era una eina de gran poder en la geometria i van inventar el que avui dia es coneix com a geometria analítica.
Un avanç que van aconseguir va ser superar a Viète a l'usar lletres per representar distàncies que són variables en comptes de fixes.
Descartes va utilitzar equacions per estudiar les corbes definides geomètricament, i va ressaltar la necessitat de considerar les corbes generals algebraiques-gràfiques d'equacions polinòmiques en els graus «x» i «i».
Per la seva banda, Fermat va emfatitzar que qualsevol relació entre les coordinades «x» i «i» determina una corba.
Utilitzant aquestes idea, va reestructurar les declaracions d'Apolonio sobre els termes algebraics i va restaurar alguns dels seus treballs que es trobaven perduts.
Fermat va indicar que qualsevol equació de segon grau en «x» i «i» pot ser col·locada en la forma estàndard d'una de les seccions còniques. Tot i això, Fermat mai va publicar els seus treballs realitzats sobre el tema.
Gràcies als seus avenços, el que Arquimedes només podia resoldre amb gran dificultat i per a casos aïllats, Fermat i Descartes el podien resoldre ràpidament i per a una gran quantitat de corbes (conegudes ara com corbes algebraiques).
Però les seves idees només van guanyar l'acceptació general a través dels esforços d'altres matemàtics en l'última meitat de segle XVII.
Els matemàtics Frans van Schooten, Florimond de Beaune i Johan de Witt van ajudar a expandir el treball de Decartes i van afegir material addicional important.
influència
A Anglaterra John Wallis va popularitzar la geometria analítica. Va utilitzar equacions per definir les còniques i derivar les seves propietats. Encara que feia servir coordenades negatives lliurement, va ser Isaac Newton qui va utilitzar dos eixos oblics per dividir el pla en quatre quadrants.
Newton i l'alemany Gottfried Leibniz van revolucionar les matemàtiques a la fi de segle XVII a l'demostrar independentment el poder de el càlcul.
Newton va demostrar la importància dels mètodes analítics en la geometria i el seu paper en el càlcul, quan ha afirmat que qualsevol galleda (o qualsevol corba algebraica de tercer grau) té tres o quatre equacions estàndards per a eixos de coordenades adequats. Amb ajuda d'ell mateix Newton, el matemàtic escocès John Stirling ho va provar en 1717.
Geometria analítica de tres i més dimensions
Encara que tant Descartes com Fermat van suggerir utilitzar tres coordenades per estudiar les corbes i superfícies en l'espai, la geometria analítica tridimensional es va desenvolupar lentament fins 1730.
Els matemàtics Euler, Hermann i Clairaut van produir equacions generals per a cilindres, cons i superfícies de revolució.
Per exemple, Euler va utilitzar equacions per translacions en l'espai per transformar la superfície quadràtica general, de manera que els seus eixos principals coincidissin amb els seus eixos de coordenades.
Euler, Joseph-Louis Lagrange i Gaspard Monge van fer que la geometria analítica s'independitzés de la geometria sintètica (no analítica).
referències
- The development of analytic geometry (2001). Recuperat de encyclopedia.com
- History of analytic geometry (2015). Recuperat de maa.org
- Analysis (Mathematics). Recuperat de britannica.com
- Analytic geometry. Recuperat de britannica.com
- Descartes and the birth of analytic geometry. Recuperat de sciencedirect.com