4 EXERCICIS DE FACTORITZACIÓ AMB SOLUCIONS - MATEMÀTIQUES - 2026

Els exercicis de factorització ajuden a comprendre aquesta tècnica, que s'utilitza molt en les matemàtiques i consisteix en el procés d'escriure una suma com un producte de certs termes.

La paraula factorització fa esment a factors, els quals són termes que multipliquen a altres termes. Per exemple, en la descomposició en factors primers d'un nombre natural, els nombres primers involucrats són anomenats factors.

És a dir, 14 es pot escriure com 2 * 7. En aquest cas, els factors primers de 14 són 2 i 7. El mateix s'aplica als polinomis de variables reals.

És a dir, si es té un polinomi P (x), llavors factoritzar el polinomi consisteix a escriure P (x) com el producte d'altres polinomis de grau menor a el grau de P (x).

factorització

Per factoritzar un polinomi s'utilitzen diverses tècniques, entre les quals hi ha els productes notables i el càlcul de les arrels de l'polinomi.

Si es té un polinomi de segon grau P (x), i x1 i x2 són les arrels reals de P (x), llavors P (x) es pot factoritzar com «a (x-x1) (x-x2)», on «a» és el coeficient que acompanya la potència quadràtica.

Com es calculen les arrels?

Si el polinomi és de grau 2, llavors les arrels es poden calcular amb la fórmula anomenada «la resolvent».

Si el polinomi és de grau 3 o més, per calcular les arrels se sol utilitzar el mètode de Ruffini.

4 exercicis de factorització

primer exercici

Factoritzar el següent polinomi: P (x) = x²-1.

solució

No sempre és necessari usar la resolvent. En aquest exemple es pot utilitzar un producte notable.

Reescrivint el polinomi com segueix es podrà observar quina producte notable utilitzar: P (x) = x² - 1a.

Utilitzant el producte notable 1, diferència de quadrats, s'ha del polinomi P (x) es pot factoritzar com segueix: P (x) = (x + 1) (x-1).

Això a més indica que les arrels de P (x) són x1 = -1 i x2 = 1.

segon exercici

Factoritzar el següent polinomi: Q (x) = x ³ - 8.

solució

Hi ha un producte notable que diu el següent: ų-b³ = (ab) (a² + ab + b²).

Sabent això, es pot reescriure el polinomi Q (x) com segueix: Q (x) = x ³-8 = x ³ - 2³.

Ara, utilitzant el producte notable descrit, s'ha de la factorització de el polinomi Q (x) és Q (x) = x ³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2a) = (x-2) (x² + 2x + 4).

Falta factoritzar el polinomi quadràtic que va sorgir en el pas anterior. Però si s'observa, el producte notable número 2 pot ajudar; per tant, la factorització final de Q (x) ve donada per Q (x) = (x-2) (x + 2) ².

Això diu que una arrel de Q (x) és x1 = 2, i que x2 = x3 = 2 és l'altra arrel de Q (x), la qual es repeteix.

tercer exercici

Factoritzar R (x) = x² - x - 6.

solució

Quan no es pot detectar un producte notable, o no es compta amb l'experiència necessària per manipular l'expressió, es procedeix amb l'ús de la resolvent. Els valors són els següents a = 1, b = -1 ic = -6.

A l'substituir-los en la fórmula resulta x = (-1 ± √ ((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5) / 2.

D'aquí resulten dues solucions que són les següents:

x1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3.

Per tant, el polinomi R (x) es pot factoritzar com R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3).

quart exercici

Factoritzar H (x) = x ³ - x² - 2x.

solució

En aquest exercici es pot començar traient el factor comú xi s'obté que H (x) = x (x²-x-2).

Per tant, només resta factoritzar el polinomi quadràtic. Utilitzant novament la resolvent, s'ha de les arrels són:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Per tant les arrels de l'polinomi quadràtic són x1 = 1 i x2 = -2.

En conclusió, la factorització de el polinomi H (x) ve donada per H (x) = x (x-1) (x + 2).

referències

1. 1. Fonts, A. (2016). MATEMÀTIQUES BÀSIQUES. Una Introducció a l'Càlcul. Lulu.com.
   2. Garo, M. (2014). Mathematics: quadratic equations: How solve a quadratic equation. Marilú Garo.
   3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matemàtiques per a administració i economia. Pearson Educació.
   4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemàtiques 1 SET. Llindar.
   5. Preciado, CT (2005). Curs de Matemàtiques 3r. Editorial Progrés.
   6. Rock, NM (2006). Àlgebra I Is Easy! So Easy. Team Rock Press.
   7. Sullivan, J. (2006). Àlgebra i Trigonometria. Pearson Educació.