- termes importants
- mètodes
- - Passos per aplicar l'anàlisi de malles
- pas 1
- pas 2
- malla ABCDA
- Solució de el sistema pel mètode de Cramer
- Pas 1: Calcular Δ
- Pas 3: Calcular I
- Pas 4: Calcular Δ
- solució
- malla març
- Taula de corrents i voltatges en cada resistència
- Solució per regla de Cramer
- referències
L' anàlisi de malles és una tècnica emprada per resoldre circuits elèctrics plans. Aquest procediment també pot aparèixer en la literatura amb els noms de mètode dels corrents circuitals o mètode dels corrents de malla (o llaç).
El fonament d'aquest i altres mètodes d'anàlisi de circuits elèctrics està en les lleis de Kirchhoff i la llei d'Ohm. Les lleis de Kirchhoff al seu torn, són expressions de dos principis importantíssims de conservació en la Física per a sistemes aïllats: tant la càrrega elèctrica com l'energia es conserven.
Figura 1. Els circuits formen part d'innombrables dispositius. Font: Pixabay.
D'una banda, la càrrega elèctrica està relacionada amb el corrent, que és càrrega en moviment, mentre que en un circuit l'energia està vinculada a l'voltatge, que és l'agent encarregat de fer el treball necessari per mantenir la càrrega en moviment.
Aquestes lleis, aplicades a un circuit pla, generen un conjunt d'equacions simultànies que han de ser resoltes per obtenir els valors de corrent o tensió.
El sistema d'equacions es pot resoldre amb tècniques analítiques ja conegudes, com la regla de Cramer, que requereix el càlcul de determinants per obtenir la solució de sistema.
Depenent de l'nombre d'equacions, es resolen emprant una calculadora científica o un algun programari matemàtic. A la xarxa també hi ha moltes opcions disponibles.
termes importants
Abans d'explicar com funciona, començarem per definir aquests termes:
Branca: secció que conté un element de circuit.
Node: punt que connecta dos o més branques.
Llaç: és qualsevol porció tancada d'un circuit, que comença i acaba en el mateix node.
Malla: llaç que no conté cap altre llaç en el seu interior (malla essencial).
mètodes
L'anàlisi de malles és un mètode general que serveix per resoldre circuits els elements estan connectats en sèrie, en paral·lel o de forma mixta, és a dir, quan no es distingeix clarament el tipus de connexió. El circuit ha de ser pla, o al menys ha de ser possible re-dibuixar-se com a tal.
Figura 2. Circuits plans i no plans. Font: Alexander, C. 2006. Fonaments de Circuits Elèctrics. 3ra. Edició. Mc Graw Hill.
A la figura de dalt es mostra un exemple de cada tipus de circuit. Un cop aclarit el punt, per començar, aplicarem el mètode a un circuit senzill com a exemple en la següent secció, però abans repassem breument les lleis d'Ohm i Kirchhoff.
Llei d'Ohm: siguin V el voltatge, R la resistència i I el corrent de l'element resistiu òhmic, en el qual el voltatge i el corrent són directament proporcionals, sent la resistència la constant de proporcionalitat:
Llei de Kirchhoff de l'voltatge (LKV): en qualsevol trajectòria tancada recorreguda en una sola direcció, la suma algebraica dels voltatges és zero. Això inclou els voltatges deguts a fonts, resistors, inductors o condensadors: Σ I = Σ R i. I
Llei de Kirchhoff del corrent (LKC): en qualsevol node, la suma algebraica dels corrents és zero, tenint en compte que als corrents que entren se'ls assigna un signe ia les que surten altre. D'aquesta manera: Σ I = 0.
Amb el mètode dels corrents de malla no cal aplicar la llei dels corrents de Kirchhoff, resultant menys equacions per resoldre.
- Passos per aplicar l'anàlisi de malles
Començarem explicant el mètode per a un circuit de 2 malles. El procediment es pot estendre després per circuits més grans.
Figura 3. Circuit amb resistències i fonts disposats en dues malles. Font: F. Zapata.
pas 1
Assignar i dibuixar corrents independents a cada malla, en aquest exemple són I 1 i I 2. Es poden dibuixar en sentit horari o també en sentit antihorari.
pas 2
Aplicar la Llei de les Tensions de Kirchhoff (LTK) i la llei d'Ohm a cada malla. A les caigudes de potencial se'ls assigna signe (-) mentre que a les pujades se'ls assigna signe (+).
malla ABCDA
Partint del punt ai seguint el sentit del corrent, trobem una pujada de potencial en el bateria E1 (+), després una caiguda en R 1 (-) i després una altra caiguda en R 3 (-).
Simultàniament, la resistència R 3 és travessada també pel corrent I 2, però en sentit contrari, per tant representa una pujada (+). La primera equació queda així:
De seguida es factoritza i es reagrupen termes:
---------
-50 I 1 + 10I 2 = -12
Com es tracta d'un sistema d'equacions de 2 x 2, es pot resoldre fàcilment per reducció, multiplicant per 5 la segona equació per eliminar la incògnita I 1:
-50 I 1 +10 I 2 = -12
Immediatament es buida el corrent I 1 de qualsevol de les equacions originals:
El signe negatiu en el corrent I 2 vol dir que el corrent a la malla 2 circula en sentit contrari a l'dibuixat.
Els corrents en cada resistència són les següents:
Per la resistència R 1 circula el corrent I 1 = 0.16 A en el sentit dibuixat, per la resistència R 2 circula el corrent I 2 = 0.41 A en sentit contrari a l'dibuixat, i per la resistència R 3 circula i 3 = 0.16- (-0.41) A = 0.57 A cap avall.
Solució de el sistema pel mètode de Cramer
En forma matricial, el sistema pot ser resolt de la següent manera:
Pas 1: Calcular Δ
Se substitueix la primera columna pels termes independents de sistema d'equacions, mantenint l'ordre en què es va plantejar el sistema originalment:
Pas 3: Calcular I
Pas 4: Calcular Δ
Figura 4. Circuit de 3 malles. Font: Boylestad, R. 2011. Introducció a l'Anàlisi de Circuitos.2da. Edició. Pearson.
solució
Es dibuixen les tres corrents de malla, tal com es mostra en la següent figura, en sentits arbitraris. Ara es recorren les malles partint des de qualsevol punt:
Figura 5. Corrents de malla per a l'exercici 2. Font: F. Zapata, modificat de l'Boylestad.
malla 1
-9100.I 1 + 18-2200.I 1 + 9100.I 2 = 0
malla març
Sistema d'equacions
Tot i que els números són grans, es resol ràpidament amb ajuda d'una calculadora científica. Recordeu que les equacions han d'estar ordenades i afegir zeros en els llocs on la incògnita no aparegui, tal com apareix aquí.
Els corrents de malla són:
Els corrents I 2 i I 3 circulen en sentit contrari a l'mostrat en la figura, ja que van resultar ser negatives.
Taula de corrents i voltatges en cada resistència
| Resistència (Ω) | Corrent (Ampers) | Voltatge = IR (Volts) |
|---|---|---|
| 9100 | I 1 -I 2 = 0,0012 - (- 0,00048) = 0,00168 | 15.3 |
| 3300 | 0,00062 | 2.05 |
| 2200 | 0,0012 | 2.64 |
| 7500 | 0,00048 | 3.60 |
| 6800 | I 2 -I 3 = -0.00048 - (- 0,00062) = 0,00014 | 0.95 |
Solució per regla de Cramer
Atès que són nombres grans, és convenient utilitzar notació científica per treballar amb ells en forma directa.
Càlcul d'I 1
Les fletxes de colors en el determinant de 3 x 3 indiquen la forma de trobar els valors numèrics, multiplicant els valors assenyalats. Comencem per obtenir els del primer claudàtor al determinant Δ:
(-11.300) x (-23.400) x (-10.100) = -2.67 x 10 12
9100 x 0 x 0 = 0
9100 x 6800 x 0 = 0
Immediatament obtinguem el segon claudàtor en aquest mateix determinant, que es treballa d'esquerra a dreta (per aquest claudàtor no es van dibuixar les fletxes de colors a la figura). Convidem a el lector a que ho verifiqui:
0 x (-23.400) x 0 = 0
9100 x 9100 x (-10.100) = 8.364 x 10 11
6800 x 6800 x (-11.300) = 5.225 x 10 11
De la mateixa manera, el lector també pot verificar els valors per al determinant Δ 1.
Important: entre els dos claudàtors sempre va un signe negatiu.
Finalment s'obté el corrent I 1 mitjançant I 1 = Δ 1 / Δ
Càlcul de R 2
El procediment pot repetir-se per calcular I 2, en aquest cas, per calcular el determinant Δ 2 se substitueix la segona columna de l'determinant Δ per la columna dels termes independents i es troba el seu valor, segons el procediment explicat.
No obstant això, com és molest a causa dels nombres grans, sobretot si no es disposa de calculadora científica, el més senzill és substituir el valor de R 1 ja calculat, en la següent equació i aclarir:
Càlcul de I3
Un cop amb els valors de R 1 i I 2 en mà, el de R 3 es troba directament per substitució.
referències
- Alexander, C. 2006. Fonaments de Circuits Elèctrics. 3ra. Edició. Mc Graw Hill.
- Boylestad, R. 2011. Introducció a l'Anàlisi de Circuitos.2da. Edició. Pearson.
- Figueroa, D. (2005). Sèrie: Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 5. Interacció Elèctrica. Editat per Douglas Figueroa (USB).
- García, L. 2014. Electromagnetisme. 2dóna. Edició. Universitat Industrial de Santander.
- Sears, Zemansky. 2016. University Physics with Modern Physics. 14th. Ed. Volume 2.